Изучение классно-разрядной структуры многозначных чисел в старших классах

Изучение классно-разрядной структуры многозначных чисел в старших классах

Долгое время считалось, что объем программы вспомогательной школы по математике значительно превышает потребность в математических знаниях ее учащихся и многозначные числа скорее необходимы им для общего кругозора, поскольку умственно отсталым подросткам в быту и в производственной деятельности приходится заниматься вычислениями в пределах 100, реже в пределах 1000.

Сегодняшняя социально-экономическая ситуации в России вносит коррективы в сложившееся представление о нумерации чисел в пределах 1 000 000 как о факультативной теме курса математики в специальной школе. Поэтому достижение цели специальной школы VIII вида социальной адаптации умственно отсталых учащихся, на наш взгляд, требует в настоящее время повышенного внимания к проблеме их обучения многозначным числам.

В настоящее время существует несколько вариантов толкования понятия «многозначное число». Например, С. С. Анцыферов утверждает, что многозначные это все числа, кроме однозначных. По мнению И. К. Андронова, к многозначным числам относится любое натуральное число, которое в десятичной системе счисления изображается более чем двумя цифрами, а М. К. Гре-бенча указывает, что число, изображенное двумя цифрами, из которых первая значащая, называется двузначным, и аналогичным образом определяет многозначные числа: трехзначные, четырехзначные.

У авторов более поздних пособий по теоретическим основам начальной математики также нет единого мнения по этому вопросу. Одни вообще не используют словосочетание «многозначные числа» и оперируют терминами «одно-», «дву-», «трех-», «четырехзначные» и тому подобные числа (С. М. Никольский и др.). Другие называют многозначными те числа, в которых имеется более одной цифры. Например, к круглым многозначным числам относят 50, 300, 8 000, 9 000 000 и т. п. (А. М. Пышкало и др.).

А. П. Антропов, чью точку зрения мы разделяем, в пособии «Математика во вспомогательной школе» не дает определения этого понятия, но из контекста видно, что под многозначными числами автор понимает числа, записанные более чем тремя знаками.

Для обозначения на письме всех чисел от однозначных до многозначных в десятичной системе счисления необходимы десять знаков (в двоичной системе счисления два знака, в троичной три и т. п.), называемых цифрами: «I» «9» это значащие цифры и «О» незначащая. Запись числа «десять» осуществляется с помощью двух цифр «I» и «О» в определенной последовательности, которая обусловлена принципом поместного значения цифр в записи числа.

Цифра «О» в десятичной системе счисления несет на себе двойную нагрузку: обозначает отсутствие единиц разряда и имеет значение при увеличении (уменьшении) числа в 10 раз. Если для записи любого числа достаточно десяти цифр, то для чтения чисел десяти названий цифр недостаточно, так как названия цифр совпадают только с названиями чисел от 0 до 9. Поэтому при чтении, например, трехзначных чисел используются также особые названия чисел от 10 до 19, чисел каждого из девяти десятков и девяти сотен.

Для чтения многозначных чисел помимо названных используются названия классов («тысячи», «миллионы» и т. д.), с помощью которых трехзначные числа приобретают новое значение. Например, введение одного нового слова «тысяча» позволяет применять 37 слов, необходимых для называния трехзначных чисел, для чтения шестизначных чисел и т. п.

Каждый класс состоит из трех разрядов единиц, десятков, сотен и имеет свое название (единицы, тысячи, миллионы, миллиарды, триллионы и т. д.). Отношения между единицами соседних разрядов и классов в десятичной системе счисления стабильны и равны соответственно десяти и тысяче.

Ввиду того что единицы в многозначных числах в десятичной системе счисления группируются не только по разрядам, но и по классам, правомерно говорить и о том, что цифра в записи многозначного числа имеет несколько значений:

абсолютное значение, т. е. значение вне зависимости от позиции, которую она занимает;

позиционное разрядное значение (2 десятка);

позиционное классно-разрядное значение (2 десятка тысяч).

Классно-разрядная группировка единиц в многозначных числах обусловливает правила их чтения и записи. Чтобы прочитать число, имеющее более трех цифр, его разделяют справа налево на классы по три цифры в каждом (в последнем классе может оказаться цифр и меньше), читают числа каждого класса, начиная с высшего, называя каждый класс. Чтобы записать цифрами число, надо выделить в нем классы и вписывать последовательно числа каждого класса, начиная с высшего. При этом надо помнить, что в каждом классе, кроме, быть может, высшего, должно быть три цифры. Поэтому недостающие значащие цифры замещаются нулями, а если нет целого класса, то на его место ставятся три нуля.

Учитывая, что учебный предмет «математика» представляет собой проекцию математики как науки, далее попытаемся проанализировать, насколько полно и точно данные теоретические положения воплощены в традиционно сложившихся системах и методиках изучения чисел.

И. Н. Кавун и Н. С. Попова предлагали изучать нумерацию чисел в пределах 1 000 000 в следующей последовательности:

1) устная и письменная нумерация четырехзначных чисел;

2) устная и письменная нумерация пятизначных чисел;

3) устная и письменная нумерация шестизначных чисел;

4) общие выводы по нумерации многозначных чисел.

Каждый этап включал в себя также изучение арифметических действий с числами в соответствующих пределах. Понятие «класс» рекомендовалось формировать у школьников на четвертом этапе обучения на основе обобщения знаний о разрядах, полученных при рассмотрении нумерации четырех-, пятии шестизначных чисел.

Методика изучения нумерации многозначных чисел Д. Л. Болконского предполагала ознакомление учащихся с числами в пределах 1 000 000 000 и так же, как и предшествующая методика, изучение классов многозначных чисел индуктивным методом, но на материале семи-, восьмии девятизначных чисел. Обучение нумерации и арифметическим действиям с многозначными числами проводилось раздельно.

К.П.Аржеников также был сторонником индуктивного метода введения понятия «класс» и придерживался идеи раздельного изучения нумерации многозначных чисел и действий с ними, как и Д. Л. Волковский, но разработанная им система и методика ограничивались изучением целых неотрицательных чисел только в пределах 1 000 000.

Переход к дедуктивному пути развертывания программного содержания раздела «Нумерация многозначных чисел» в конце 40-х начале 50-х годов, по всей видимости, можно связать с именем А. С. Пчелко. Но в то же время нельзя говорить о том, что разработанная им система изучения нумерации многозначных чисел построена на основе дедуктивного метода «в чистом виде», так как обобщению знаний о разрядах все-таки предшествовало индуктивное ознакомление с образованием единицы тысяч, десятка тысяч, сотни тысяч, которое заканчивалось установлением аналогии в их образовании с образованием разрядных единиц первого класса и первоначальным ознакомлением школьников с понятием «класс».

Таким образом, возникло два противоположных мнения на последовательность и методику формирования знаний о классах.

К. П. Аржеников, Д. Л. Волковский, И. Н. Кавун, Н. С. Попова, Г. Б. Поляк и другие авторы рекомендовали вести раздельное изучение нумерации четырех-, пятии шестизначных чисел индуктивным методом. Данный подход был подвергнут критике Г. В. Бельтюковой, которая писала, что данная система изучения не учитывает и не раскрывает особенность нашей нумерации -группировку единиц по классам. Поэтому знакомство с новой разрядной единицей, счет этих разрядных единиц, образование соответствующих разрядных чисел, образование алгоритмических чисел приходится проделывать трижды: относительно единиц тысяч, десятков тысяч и сотен тысяч.

В дальнейшем целесообразность использования дедуктивного метода обучения нумерации многозначных чисел Л. Н. Скаткиным, М. И. Моро, А. М. Пышкало, П. М. Эрдниевым признается очевидной, но и в русле этой концепции возникает несколько течений.

Так, Г. В. Суслопарова предлагала вводить понятие «класс» в концентре «1000». М.И.Моро и А. М. Пышкало считали целесообразным начинать работу по формированию этого понятия у школьников перед началом изучения нумерации многозначных чисел. Последователи А. С. Пчелко (Л. Н. Скаткин, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова) указывали на необходимость рационального сочетания индуктивного и дедуктивного методов формирования знаний о классах и разрядах, обосновывали необходимость использования индуктивного метода обучения на этапе образования новых разрядных единиц, который завершается установлением аналогий в образовании разрядных единиц первого и второго классов, обобщением рассмотренных связей и отношений и формированием понятия «класс». Дальнейшее изучение нумерации разворачивается на дедуктивной основе, и при этом детали и частности станут понятнее ученикам, поскольку они будут даваться на фоне общего и целого.

Использование дедуктивного метода при изучении нумерации многозначных чисел более целесообразно, так как позволит создать у учащихся целостное представление о группировке единиц в многозначных числах не только по разрядам, но и, главное, по классам. В этом случае, по мнению А. В. Шевкина, обучение будет опираться не только на живое созерцание, но и на абстрактное мышление, через которое осуществится переход к практике.

Основным теоретическим положением, без которого невозможно овладение нумерацией чисел, является принцип двойной группировки единиц по классам и разрядам.

Понимание данного принципа устной и письменной нумерации чисел умственно отсталыми школьниками и его реализация в практической математической деятельности связаны с определенными трудностями, которые обусловлены недостатками мыслительной деятельности учащихся (в первую очередь слабостью обобщений).

Поскольку обобщение является центральным элементом системы мыслительных операций, коррекция его недостатков у умственно отсталых школьников должна включать активизацию и развитие анализа и синтеза, сравнения и всех других мыслительных операций, на которых основано осуществление логических операций и умозаключений.

Для развития логического мышления необходимо прежде всего совершенствовать мыслительную операцию сравнения с помощью использования методических приемов сравнения, сопоставления, противопоставления в ходе изучения чисел класса единиц и класса тысяч.

Знания о многозначных числах формируются с опорой на представления учеников о числах первой тысячи, которая изучается в школе с I по V класс.

Первоначальные представления о разрядах рекомендуется формировать у умственно отсталых детей во второй четверти III класса (концентр «Сотня»). В ходе демонстрации разрядной таблицы учащиеся знакомятся с термином «разряд», узнают, что разряд единиц находится на первом месте справа, второй разряд (десятки) расположен на втором месте справа, а третий разряд (сотни) находится в числе на третьем месте справа.

В соответствии с действующей сегодня программой по математике в VI классе умственно отсталые учащиеся изучают нумерацию многозначных чисел в пределах 10 000, в VII классе в пределах 100 000 и в VIII классе в пределах 1 000 000. Такое распределение учебного материала концентра «Многозначные числа» по трем годам обучения объясняется особенностями усвоения, сохранения и применения знаний умственно отсталыми учащимися.

Ознакомление с единицей четвертого и пятого разрядов (1 единицей тысяч и 1 десятком тысяч) происходит на основе знаний учеников о разрядах трехзначных чисел. Понятие «класс» формируется индуктивным методом на седьмом году обучения при изучении нумерации шестизначного числа 100000. Школьникам сообщается, что для удобства чтения и записи чисел разряды можно объединить в классы, и впервые за два года активного использования в речи им объясняется значение слова «тысячи» в нумерации многозначных чисел. Умственно отсталые семиклассники знакомятся с таблицей разрядов и классов, узнают, что первые три разряда объединяются в класс единиц (первый класс), за классом единиц стоят три следующих разряда (четвертый, пятый, шестой), которые имеют такие же названия: единицы, десятки и сотни, но к названию каждого из этих разрядов прибавляется название класса тысяч: единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч. Эти три разряда составляют класс тысяч, и так как он стоит на втором месте справа, то его называют вторым классом.

Традиционная методика изучения разрядов и классов оставляет без внимания тот факт, что при изучении числа 1000 в V классе, четырехзначных чисел и числа 10000 в VI классе и при повторении этого материала в начале VII класса школьники не могут, читая многозначные числа, осознанно оперировать словом «тысяча» («тысяч», «тысячи»), так как не знают, что название и место четвертого и пятого разрядов (единиц тысяч и десятков тысяч) обусловлены местом и названием того класса, в котором они расположены. Очевидно, что в этой ситуации слово «тысяча» не содержит в себе обобщения, так как оно не связано, во-первых, с понятием «класс» и, во-вторых, с понятием «класс тысяч». Умственно отсталые ученики не до конца осознают необходимость выполнения правила записи многозначных чисел, поскольку наличие небольшого промежутка в их записи обусловлено группировкой единиц не по разрядам, а по классам. Трудности в установлении аналогии в образовании, чтении, записи трехи многозначных чисел возникают вследствие того, что понятие «класс» вводится индуктивным методом и слишком поздно. Это отрицательно сказывается на усвоении школьниками главного принципа нумерации многозначных чисел группировки единиц по классам и по разрядам.

Существующая система и методика изучения нумерации многозначных чисел, ориентированная на использование только индуктивного метода обучения, недостаточно учитывают главную особенность нумерации чисел 1-1000000 группировку единиц в этих числах не только по разрядам, но и по классам, что приводит к изучению не классно-разрядной, а разрядно-классной структуры многозначных чисел. Применение индуктивного метода формирования этих основополагающих знаний затрудняет установление инвариантных связей и аналогии в строении трехи шестизначных чисел и их обобщение в связи с введением понятия «класс» при изучении шестизначного числа 100000 и, следовательно, мало способствует развитию у умственно отсталых учащихся способности к обобщению вообще и к обобщению математических фактов в частности.

Процесс развития мышления умственно отсталых учеников при обучении многозначным числам по такой системе направлен на коррекцию и развитие только индуктивных умозаключений, так как учащиеся на основе множества конкретных фактов «подводятся» к обобщениям. Проблемы коррекции другой стороны мышления дедуктивных умозаключений и обучения применению обобщенных знаний при решении конкретных задач в этом случае решаются недостаточно полно.

Учитывая, что путь постепенного обобщения не является единственным путем обучения математике, что имеются два принципиально различных пути, ведущих к одному и тому же результату (В. А. Крутецкий), мы полагаем, что преодоление этих недостатков возможно при перестройке системы изучения многозначных чисел на основе дедуктивного метода формирования понятия «класс» и изучения принципа группировки единиц по классам и разрядам на материале целого концентра «Многозначные числа» в VI классе школы VIII вида.

Однако дедуктивное развертывание программного содержания обучения определяет только общую, главную линию движения материала, которая не только не исключает, но и требует, чтобы в отдельных звеньях отдельных циклов движение шло в обратном направлении, т. е. от частного к общему. Использование индукции в рамках дедуктивного пути изучения нумерации многозначных чисел открывает перспективы для реализации принципа индивидуального и дифференцированного подхода в обучении умственно отсталых школьников, обладающих неравными возможностями в усвоении математики.

Изучение остального материала темы «Нумерация многозначных чисел» на основе рационального сочетания дедуктивного и индуктивного методов позволит проводить целенаправленную работу по коррекции и развитию логического мышления, речи и других психических процессов у умственно отсталых детей. Осознанное овладение закономерностями нумерации целых неотрицательных чисел положительно скажется на усвоении учащимися арифметических действий с ними, нумерации и действий с десятичными дробями.

Реализация принципа «от общего к частному» в обучении нумерации многозначных чисел способствует:

овладению учащимися логически обусловленным обобщением знаний о первых трех разрядах (единиц, десятков, сотен) в понятие «класс»;

осознанию учениками очевидности общего и различного между одноименными разрядами класса единиц и класса тысяч;

выявлению аналогии в нумерации трехи шестизначных чисел;

использованию коррекционно-развивающего потенциала учебного материала данного раздела курса математики в установлении аналогий, анализе, сравнении и обобщении имеющихся знаний, применении их в новых ситуациях.

Дедуктивный метод обучения шестиклассников классно-разрядной структуре многозначных чисел позволяет расширить область изучаемых чисел сразу до 1 000 000, т. е. изучить сразу числа всего второго класса, поскольку усвоение принципа группировки единиц в многозначные числа не только по разрядам, но и по классам позволит умственно отсталым школьникам установить аналогию в образовании, чтении, записи, счете и сравнении чисел класса единиц и класса тысяч.

По мнению А. Н. Леонтьева, для усвоения понятия недостаточно нахождения его содержания в поле зрения учащихся, как это имеет место в существующей практике обучения нумерации многозначных чисел. Поэтому усвоение понятия «класс» нужно сделать целью деятельности учащихся и изучать принцип группировки единиц по классам и разрядам не в завуалированном, а в явном виде, что благотворно отразится на качестве приобретаемых знаний, их осознанности, системности и наполнит содержанием речь умственно отсталого школьника.

В ходе беседы учащимся сообщаются сведения о классах единиц и тысяч и составляющих их разрядах единиц, десятков, сотен. Объяснение нового материала должно сопровождаться показом и анализом стандартной таблицы классов и разрядов (четыре класса: единиц, тысяч, миллионов и миллиардов).

Внимание школьников должно быть сосредоточено на том, что в классе тысяч столько же разрядов, сколько и в классе единиц, и их названия одинаковы. Для правильного называния того или иного разряда к его названию необходимо добавлять название класса, в котором он расположен.

Совместно с шестиклассниками устанавливается, что названия чисел каждого класса образуются из тех же числительных, по тем же грамматическим правилам, что и названия трехзначных чисел.

Например, карточка с числом 257 выставляется в наборном полотне таблицы в классе единиц. Ученики читают это число:

«двести пятьдесят семь единиц». При передвижении карточки влево на один класс к названию числа добавляется лишь название второго класса: «двести пятьдесят семь тысяч» и т. д.

Ознакомление учащихся с классами предполагает изучение новых отношений между разрядными единицами первого и второго классов, которые обусловлены принципом десятичной системы счисления. Эти зависимости математическая абстракция, которую невозможно проиллюстрировать с помощью предметной наглядности.

В методической литературе имеются рекомендации по использованию абака, счетов, таблицы разрядов и классов, т. е. наглядных средств обучения, имеющих условный характер (Н. Ф. Кузьмина-Сыромятникова, М. Н. Перова, В. В. Эк и др.), но, по мнению В. В. Давыдова, там, где содержанием обучения становятся связи и отношения объектов, наглядности далеко не достаточно. Здесь должен быть реализован принцип моделирования. Моделирование не противопоставление, а следующая, более высокая ступень наглядности, которая предполагает в определенной мере использование известных наглядных средств обучения, но не для конкретизации изучаемых отношений и зависимостей, а для их абстрагирования и обобщения.

Моделирование замещение изучаемого объекта другим, специально созданным в упрощенно-обобщенном виде, поскольку любая модель (вещественная макет; образная рисунок, схема, чертеж; знаковая формула) представляет собой результат упрощения изучаемого объекта при сохранении изучаемых характеристик. Использование моделей в процессе обучения способствует развитию у учащихся высшей формы наглядно-образного мышления наглядно-схематического мышления, которое, в свою очередь, способствует формированию отвлеченного словесно-логического мышления.

Отправной точкой в системе изучения нумерации многозначных чисел должна быть не нумерация конкретных чисел первого, второго и третьего разрядов, а нумерация чисел первого класса обобщенной модели трехзначного числа, которая в дальнейшем станет основой моделирования структуры многозначных чисел, так как нумерация чисел первого класса лежит в основе нумерации чисел любой величины. Применение моделирования позволит сформировать у школьников наглядный обобщенный образ, пространственную схему строения шестизначных чисел. Представив и «наложив» эту модель на запись числа, учащиеся смогут осознанно упорядочить, сгруппировать цифры в числе, т. е. выделить классы, а затем и разряды внутри классов.

Таким путем у учеников формируется один из приемов мыслительной деятельности прием использования стимула, или стимулирующего звена. Стимул промежуточный мыслительный процесс, «мостик», который рассматривается в единстве с внешним объектом (моделью многозначного числа), который вводится между двумя другими процессами (например, первый процесс первичное восприятие записи числа и второй процесс выделение классов в числе) для установления связи между этими процессами, активизации управления мыслительной деятельностью (Л. С. Выготский).

Это положение особенно значимо в плане формирования целенаправленной мыслительной деятельности умственно отсталых школьников.

В ходе обучения учащихся выделению структуры многозначных чисел необходимо использовать деформированные задания, ведущие к углубленному познанию изучаемого материала. Деформированными заданиями, или контрпримерами, отрицательными примерами считаются задания, которые предъявляются школьникам в заведомо неполном или искаженном виде. Они выполняются только в классе под наблюдением учителя. Найденные ошибки сразу анализируются, и школьники сами предлагают правильный ответ.

Так, ученикам может быть предложено определить правильность записи числа 25 6347. Школьники вспоминают, что классы в многозначных числах отделяются друг от друга небольшим промежутком. Каждый класс может состоять из трех разрядов. Следовательно, правильный вариант записи 256 347.

Выявление «ошибок», допущенных учителем, как показывает практика, вызывает большой интерес у учащихся и, главное, повышает степень осознанности усваиваемых знаний, их использования в математической деятельности, приучает школьников контролировать результаты своей работы, развивает внимание.

Обобщение существенных и вариативных признаков понятий при изучении нумерации многозначных чисел предполагает изучение учащимися их единой и вместе с тем противоречивой сущности: с одной стороны, каждый класс состоит из трех разрядов и, с другой, три разряда образуют класс; многозначное число можно представить в виде суммы классных (или разрядных) слагаемых и составить число из суммы классных (разрядных) слагаемых и т. д. Осознание этих противоположностей предполагает развитие у учащихся способности к переключению прямого хода мыслительной деятельности на обратный. Способность к свободному и быстрому переключению с прямого на обратный ход мысли в процессе изучения математического материала В. А. Крутецкий считает одним из основных, а П. М. Эрдниев определяющим, исходным элементом математических способностей вообще.

Установление обратимых связей свидетельствует о переходе знаний школьников в новое целостное качество укрупненное системное знание, которое формируется с опорой на двустороннюю (обратимую) ассоциацию: осознавание первого члена ассоциации (три разряда) должно вызывать и вызывает осознавание второго члена ассоциации (класс), и, наоборот, осознавание второго члена ассоциации вызывает осознавание ее первого члена и в итоге способствует развитию логического мышления (В. А. Крутецкий).

Усвоение принципа группировки единиц по разрядам и классам предполагает рассмотрение и обобщение отношений как между разрядами внутри класса, так и между одноименными разрядами разных классов. Для этого необходимо использовать приемы сравнения, сопоставления и противопоставления, эффективность которых признается психологами и методистами.

Для выделения существенных признаков полезно применять различные способы пространственного расположения изучаемого материала, например матричное или граф-схемное представление математической информации, использовать приемы обводки, подчеркивания, выделения с помощью цвета.

В ходе десятичного анализа многозначных чисел, который затруднителен для умственно отсталых школьников, необходимо применять традиционные наглядные средства обучения: нумерационную таблицу, абак, счеты, которые должны служить как внешней опорой внутренних действий, совершаемых учеником под руководством учителя, так и в меньшей степени средством-стимулом, поскольку трудно говорить о наличии в сознании умственно отсталого шестиклассника полноценного образа таблицы классов и разрядов или счетов, способного стимулировать, т. е. соединять мыслительные процессы.

Иными словами, образная модель (схема) многозначного числа должна служить внешней обобщенной опорой для усвоения и использования учащимися принципа двойной группировки единиц в многозначном числе по классам и разрядам и стимулирующим звеном, которое активизирует и направляет мыслительные процессы и память, а наглядные средства обучения внешней конкретной опорой соответствующих внутренних умственных действий.

И как диалектически едины и противоположны дедуктивный и индуктивный методы обучения, и в том числе формирования понятий («класс», «разряд» и т. п.), так же неразрывны внешние обобщенные и конкретные опоры, задействованные в этом процессе.

Овладение понятиями требует, чтобы у ребенка сформировались адекватные умственные операции. Овладение операцией возможно в том случае, если она первоначально задается в виде целенаправленного действия, которое сначала возникает во внешнем плане, затем обобщается в слове, вербализируется и приобретает характер теоретического, переносится в умственный план. Важнейшим средством осуществления интериоризации является речевое обобщение, создающее реальные предпосылки для отделения образа от реального объекта, выделения и оперирования этими образами внешнего мира как языковыми значениями для регуляции деятельности. На последнем этапе действие должно контролироваться и корригироваться. Для этого нужно вынести умственное действие вовне, перевести его в план громкой речи (П. Я. Гальперин, Н. Ф. Талызина).

Обучая умственно отсталых учащихся действиям чтения чисел, записи, присчитывания и отсчитывания различных счетных единиц, сравнения, округления, первоначально необходимо сформировать у них соответствующие операции.

Например, для осуществления действия чтения многозначных чисел учащимся необходимо освоить следующие операции:

выделить классы в числе;

определить позиции и названия разрядов первого и второго классов;

установить позиционное значение цифр того или иного разряда;

найти общее количество единиц каждого класса. Для выполнения действия записи многозначных чисел школьники должны уметь выполнить операции:

установить общее число единиц каждого класса;

общее число единиц второго и первого классов раздробить на разрядные слагаемые;

подобрать цифры, которые будут обозначать соответствующее количество разрядных единиц, и записать цифры в соответствующих позициях.

Обучение школьников необходимым операциям заключается в дифференцированной пооперационной отработке каждой из них как отдельного самостоятельного целенаправленного действия, что невозможно осуществить в условиях традиционно сложившейся системы и методики обучения математике, так как учащиеся вплоть до изучения нумерации шестизначных чисел не владеют полной, объективно необходимой ориентировочной основой действия не знают, что такое классы.

Следовательно, сформировав на шестом году обучения дедуктивным методом понятие «класс» и показав в явном виде умственно отсталым ученикам аналогию в нумерации чисел первого и второго классов, мы сможем:

отработать каждую предварительную операцию, сделав ее целенаправленным действием с полной ориентировочной основой действия (ООД);

превратить эти действия в операции посредством их включения в целенаправленные действия чтения, записи и т. д. чисел, поскольку мы поставим ученика перед такой новой целью, при которой данное его действие станет способом выполнения другого действия.

Затем, например, в процессе формирования вычислительных умений у умственно отсталых старшеклассников действие записи многозначного числа станет операцией, которая войдет в состав письменного вычислительного действия, поскольку выполнение письменных вычислений с многозначными числами начинается с их записи. Действие чтения многозначного числа также превратится в операцию, входящую в структуру устного вычислительного действия или действия присчитывания (отсчитывания) различных счетных единиц, так как их осуществление предполагает называние многозначных чисел.

Таким образом, используя дедуктивный метод формирования понятия «класс», знаний принципа двойной группировки единиц в многозначном числе по классам и разрядам, применяя рациональное сочетание дедуктивного и индуктивного методов обучения при изучении других вопросов нумерации многозначных чисел, мы сможем наполнить объективно необходимым содержанием ориентировочную основу действий чтения, записи, присчитывания и отсчитывания, сравнения, округления многозначных чисел, что позволит раньше вооружить учащихся обобщенными знаниями нумерации чисел 1-1000000, положительно отразится на успешности овладения всем материалом курса математики и, следовательно, будет способствовать решению образовательной и коррекционно-воспитательной задач специальной школы, социальной адаптации учащихся с нарушениями интеллектуального развития.

Вопросы и задания для самостоятельной работы

1. Какие знания о числах, величинах, геометрических фигурах должны усвоить учащиеся специальной коррекционной школы VIII вида? Изучите «Основные требования к знаниям и умениям учащихся», изложенные в программе по математике.

2. Проанализируйте программное содержание раздела «Арифметика целых чисел». Как вы понимаете «концентрическое расположение учебного материала»? Проиллюстрируйте примером одной из тем программного материала.

3. Почему установление взаимно-однозначного соответствия между элементами предметных множеств является основой формирования первоначальных представлений о числе?

4. Найдите в учебнике «Математика» для I класса задания, которые применяются для формирования у школьников:

а) умения сравнивать предметные множества;

б) представлений о количественной стороне числа;

в) представлений о порядковом аспекте числа.

5. Сформулируйте основные отличия между индуктивным и дедуктивным методами обучения многозначным числам.

Рекомендуемая литература

Антропов А.П. Математика во вспомогательной школе. -СПб., 1992.

Бантова М. А., Бельтюкова Г. В. Методика преподавания математики в начальных классах / Под ред. М. А. Байтовой. М., 1984.

Богановская Н.Д. Формирование количественных представлений у учащихся младших классов вспомогательной школы. Свердловск, 1988.

Выготский Л.С. Проблемы дефектологии / Сост., авт. вступ. ст. и библиогр. Т. М. Лифанова. М., 1995.

Гальперин П. Я., Георгиев Л. С. К вопросу формирования начальных математических понятий // Доклады АПН РСФСР. М., 1960. № 3.

Давыдов В. В. Виды обобщения в обучении: Логико-психологические проблемы построения учебных предметов. М., 1972.

Костюк Г. С. О генезисе понятия числа у ребенка // Избранные психологические труды / Под ред. Л. Н. Проколиненко. М., 1988.

Кузьмина-Сыромятникова Н. Ф. Методика обучения арифметике во вспомогательной школе.М., 1949.

Леонтьев А.Н. Принципы психического развития ребенка и проблема умственной недостаточности // Проблемы развития психики. М., 1972.

Менчинская Н.А., Моро М.И. Вопросы методики и психологии обучения арифметике в начальных классах. М., 1965.

Методика начального обучения математике / Под ред. Л.Н.Скаткина. -М.,1972.

Моро М.И., Пышкало А.И. Методика обучения математике в I-III классах. -М.,1978.

Перова М.Н. Методика преподавания математики во вспомогательной школе. М., 1989.

Пиаже Ж., Шеминьская А. Генезис числа у ребенка // Избранные психологические труды. М., 1994.

Программы вспомогательной школы. М., 1990.