8.7. вычисление параметров парной линейной корреляции на основе аналитической группировки

8.7. вычисление параметров парной линейной корреляции на основе аналитической группировки: Общая теория статистики, Елисеева Ирина Ильинична, 2001 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Излагаются статистические методы: группировки, выборочный, индексный, корреля-ционный, анализ динамики.

8.7. вычисление параметров парной линейной корреляции на основе аналитической группировки

В главе 6 рассмотрен метод аналитической группировки, позволяющий установить наличие, вид и форму связи признаков. Но группировка не дает меры тесноты связи и уравнения регрессии. Теперь, пользуясь методикой корреляционно-регрессионного анализа, можно дополнить аналитическую группировку вычислением этих мер связи.

Возьмем в качестве примера приведенную в главе 6 группировку и рассчитаем необходимые показатели (см. табл. 8.2).

Таблица 8.2

Расчет корреляции по аналитической группировке

Группа предприятий по оборачваемости в днях

Число предприятий fj

Среднее число дней x'j

Средняя прибыль, млн руб.

y̅j

y̅j y̅

(y̅j y̅)2

x' x̅

(x'j x̅) ´ (y̅j y̅) fj

(x'j x̅)2fj

ỹxj

( ỹxj y̅)2 fj

А

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

40-50

6

45

14,57

2,80

47,04

-18

-302,4

1944

15,06

64,94

51 -70

8

60

12,95

1,18

11,14

-3

-28,0

72

12,36

2,78

71 101

6

86

7,40

-4,37

114,58

+23

-603,0

3174

7,69

99,88

Итого

20

63

11,77

-

172,76

-

-933,4

5190

11,77

167,60

Коэффициент линейной регрессии

 ,

свободный член уравнения регрессии

а = у̅ bх̅ = 11,77 (-0,18·63) = 23,15.

Итак, имеем уравнение связи: у̃ = 23,15 0,18х. Вычислим по этому уравнению расчетные значения прибыли у̃i для каждой группы. Подставив в уравнение середины интервалов групп х̅', запишем у̃i в графу 9 табл. 8.2. Вариация расчетных значений прибыли связана с влиянием оборачиваемости х. Найдем сумму квадратов отклонений прибыли за счет вариации оборачиваемости факторную вариацию (графа 10 табл. 8.2). Для расчета общей вариации результативного признака была вычислена сумма квадратов отклонений по индивидуальным данным:

 .

Эта сумма квадратов общая вариация объема прибыли равна 222,4. Теперь можем построить меры тесноты связи:

теоретическое корреляционное отношение

эмпирическое корреляционное отношение (рассчитанное в гл. б)

.

Оба квадрата корреляционных отношений соответствуют по содержанию ранее рассмотренному коэффициенту детерминации (8.1) и (8.2) и интерпретируются как Показатели доли вариации результативного признака, объясняемой за счет вариации группировочного, факторного признака (и, конечно, связанных с ним прочих факторов). В данном примере связь является тесной. Различие в том, что в эмпирическом корреляционном отношении связь признаков не абстрагирована от случайных влияний прочих факторов на вариацию у, не связанных с вариацией х.

Наиболее рациональным приемом анализа и расчета параметров корреляционной связи с помощью группировки является построение так называемой «корреляционной решетки» (табл. 8.3). Это таблица, в которой изучаемая совокупность сгруппирована одновременно по обоим признакам, связь между которыми изучается (двумерное распределение). Число групп по признакам может быть как равным, так и неравным. Если наибольшие числа частот каждой строки и каждого столбца располагаются на первой диагонали (в табл. 8.3 эти цифры подчеркнуты), связь является прямой и близкой к линейной; если наибольшие числа частот располагаются вдоль второй диагонали (в табл. 8.3 эти цифры также подчеркнуты), связь обратная, линейная. Если частоты во всех клетках таблицы примерно равны, связи нет; если наибольшие числа расположены по дуге, связь криволинейная. В табл. 8.3 кроме частот приведены строки и графы для расчета необходимых сумм при вычислении параметров корреляционной связи.

В табл. 8.3 наибольшие частоты в строках и графах расположены вдоль первой диагонали, что говорит в соответствии с логикой о прямой линейной связи возрастов женихов и невест. Связь эта далеко не полная; как видим, «любви все возрасты покорны», все клетки таблицы заполнены, значит, существуют браки между лицами любых возрастов.

Как средние величины признаков, так и все суммы, входящие в расчет параметров корреляции, при группировке взвешиваются на соответствующие частоты, поэтому формулы (8.9) и (8.11) приобретают следующий вид:

, (8.22)

, (8.23)

где x'i, yj. середины интервалов i-й категории х и j-й категории y;

fi частота i-го значения х;

fj частота j-го значения у;

fij частота совместного появления i-го значения х и j-гo значения у (это числа в клетках «корреляционной решетки»).

Взвешенные суммы квадратов отклонений подсчитаны и приведены в последней графе и в последней строке табл. 8.3. Для вычисления числителя в (8.22) и (8.23) необходимо умножить отклонения по обоим признакам (с учетом их знаков) на частоты совместного распределения и сложить все 25 произведений:

(-9).(-9,2)·18212 +1·(-9,2)·1914 + ... + 33·31,8·1701 = 5196031,6.

Это число записано в правом нижнем углу табл. 8.3. Рассчитаем параметры уравнения регрессии. Согласно (8.22)

Это означает, что в среднем с увеличением возраста женихов на 1 год возраст их невест возрастал на 0,83 года. Свободный член уравнения согласно (8.6)

a = 29,0 0,83·31,2 = 3,1.

Уравнение имеет вид:

у̂ = 3,1 + 0,83·х.

Так как оба признака равноправны, то можно получить уравнение зависимости среднего возраста жениха от возраста невесты. Поменяв местами х и у, получаем:

=0,859; а = 31,2 0,859·29 = 6,3; х̂ = 6,3 + 0,859у.

Коэффициент корреляции согласно формуле (8.23) составляет:

Коэффициент детерминации r2 = 71,3\%, т. е. вариация возраста супруга или супруги на 71\% зависит от вариации возраста «второй половины». Связь весьма тесная.

Конечно, расчет параметров корреляции на основе группировки является приближенным: реальные значения признаков заменяются серединами интервалов, а при открытых интервалах их экспертными оценками. Не учитывается неравномерность изменения частот внутри интервалов. Казалось бы, с появлением программ для ЭВМ этот метод должен отмереть. Однако для больших совокупностей в десятки и сотни тысяч единиц большинство программ ввиду ограничений на объем оперативной памяти непригодно. Да и сам процесс занесения в память ЭВМ сотни тысяч чисел занял бы столь громадное время, что, выигрыш во времени расчета на ЭВМ был бы многократно превышен. Таким образом, иногда трудоемкость расчета с помощью группировки и простого калькулятора оказывается намного меньше, чем на ЭВМ, а степень точности достаточна для большинства задач анализа связи.

Общая теория статистики

Общая теория статистики

Обсуждение Общая теория статистики

Комментарии, рецензии и отзывы

8.7. вычисление параметров парной линейной корреляции на основе аналитической группировки: Общая теория статистики, Елисеева Ирина Ильинична, 2001 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Излагаются статистические методы: группировки, выборочный, индексный, корреля-ционный, анализ динамики.