§ 30. уравнение бернулли и следствия из него
§ 30. уравнение бернулли и следствия из него
Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости (физическая абстракция, т. е. воображаемая жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего трения) трубку тока, ограниченную сечениями S1 и S2, по которой слева направо течет жидкость (рис. 47). Пусть в месте сечения S1 скорость течения v1, давление p1 и высота, на которой это сечение расположено, h1. Аналогично, в месте сечения S2 скорость течения v2, давление p2 и высота сечения h2. За малый промежуток времени Dt жидкость перемещается от сечения S1 к сечению S¢1, от S2 к S¢2 .
Рис. 47
Согласно закону сохранения энергии, изменение полной энергии Е2—Е1 идеальной несжимаемой жидкости должно быть равно работе А внешних сил по перемещению массы т жидкости:
(30.1)
где Е1 и Е2 — полные энергии жидкости массой т в местах сечений S1 и S2 соответственно.
С другой стороны, А — это работа, совершаемая при перемещении всей жидкости, заключенной между сечениями S1 и S2, за рассматриваемый малый промежуток времени Dt. Для перенесения массы т от S1 до S2 жидкость должна переместиться на расстояние l1 = v1Dt и от S2 до S2 — на расстояние l2=v2Dt. Отметим, что l1 и l2 настолько малы, что всем точкам объемов, закрашенных на рис. 47, приписывают постоянные значения скорости v, давления р и высоты h. Следовательно,
(30.2)
где F1 = p1S1 и F2= —p2S2 (отрицательна, так как направлена в сторону, противоположную течению жидкости; рис. 47).
Полные энергии E1 и E2 будут складываться из кинетической и потенциальной энергий массы т жидкости:
(30.3)
(30.4)
Подставляя (30.3) и (30.4) в (30.1) и приравнивая (30.1) и (30.2), получим
(30.5)
Согласно уравнению неразрывности для несжимаемой жидкости (29.1), объем, занимаемый жидкостью, остается постоянным, т. е.
Разделив выражение (30.5) на DV, получим
где r — плотность жидкости. Но так как сечения выбирались произвольно, то можем записать
(30.6)
Выражение (30.6) выведено швейцарским физиком Д. Бернулли (1700—1782; опубликовано в 1738 г.) и называется уравнением Бернуллн. Как видно из его вывода, уравнение Бернулли — выражение закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости. Оно хорошо выполняется и для реальных жидкостей, внутреннее трение которых не очень велико.
Величина р в формуле (30.6) называется статическим давлением (давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела), величина pv2/2 — динамическим давлением. Как уже указывалось выше (см. § 28), величина pgh представляет собой гидростатическое давление.
Для горизонтальной трубки тока (h1 = h2 выражение (30.6) принимает вид
(30.7)
где p + pv2/2 называется полным давлением.
Из уравнения Бернулли (30.7) для горизонтальной трубки тока и уравнения неразрывности (29.1) следует, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а статическое давление больше в более широких местах, т. е. там, где скорость меньше. Это можно продемонстрировать, установив вдоль трубы ряд манометров (рис. 48). В соответствии с уравнением Бернулли опыт показывает, что в манометрической трубке В, прикрепленной к узкой части трубы, уровень жидкости ниже, чем в манометрических трубках А я С, прикрепленных к широкой части трубы.
Рис. 48
Так как динамическое давление связано со скоростью движения жидкости (газа), то уравнение Бернулли позволяет измерять скорость потока жидкости. Для этого применяется трубка Пито — Прандтля (рис. 49). Прибор состоит из двух изогнутых под прямым углом трубок, противоположные концы которых присоединены к манометру. C помощью одной из трубок измеряется полное давление (р0), с помощью другой — статическое (р). Манометром измеряют разность давлений:
(30.8)
где r0 — плотность жидкости в манометре. С другой стороны, согласно уравнению Бернулли, разность полного и статического давлений равна динамическому давлению:
(30.9)
Рис. 49
Из формул (30.8) и (30.9) получаем искомую скорость потока жидкости:
Уменьшение статического давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу работы водоструйного насоса (рис. 50). Струя воды подается в трубку, открытую в атмосферу, так что давление на выходе из трубки равно атмосферному. В трубке имеется сужение, по которому вода течет с большей скоростью. В этом месте давление меньше атмосферного. Это давление устанавливается и в откачанном сосуде, который связан с трубкой через разрыв, имеющийся в ее узкой части. Воздух увлекается вытекающей с большой скоростью водой из узкого конца. Таким образом можно откачивать воздух из сосуда до давления 100 мм рт. ст. (1 мм рт. ст. = 133,32 Па).
Рис. 50
Уравнение Бернулли используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда. Рассмотрим цилиндрический сосуд с жидкостью, в боковой стенке которого на некоторой глубине ниже уровня жидкости имеется маленькое отверстие (рис. 51).
Рис. 51
Рассмотрим два сечения (на уровне ai свободной поверхности жидкости в сосуде и на уровне А2 выхода ее из отверстия) и напишем уравнение Бернулли:
Так как давления р1 и p2 в жидкости на уровнях первого и второго сечений равны атмосферному, т. е. р1 = р2, то уравнение будет иметь вид
Из уравнения неразрывности (29.1) следует, что v2/v1 = S1/S2 , где S1 и S2 — площади поперечных сечений сосуда и отверстия. Если S1 >> S2, то членом v21/2 можно пренебречь и
Это выражение получило название формулы Торричелли*.
Обсуждение Курс физики
Комментарии, рецензии и отзывы