10. метод запрос (замкнутые процедуры у опорных ситуаций)

10. метод запрос (замкнутые процедуры у опорных ситуаций)

10.1. Постановка задачи

Пусть заданы критерии оценки альтернатив с вербальными оценками на шкалах. Они являются основой построения решающего правила ЛПР. Предполагается, что реальные альтернативы, имеющие многокритериальные оценки, должны появиться после построения решающего правила (задача второй группы), а также, что число таких альтернатив может быть достаточно велико, и эти альтернативы могут иметь любые оценки по критериям.

Требуется построить правило упорядочения многокритериальных альтернатив на основе предпочтений ЛПР. Формально эта задача может быть представлена следующим образом.

Дано:

1) N критериев оценки альтернатив;

2) nj — число вербальных оценок на порядковой шкале j-ro критерия;

3) Xj = {x1j, x2j,..., xnjj } оценки на шкале j-ro критерия, упорядоченные от лучшей к худшей;

4) множество всех возможных векторов Y = {X1ÄX2Ä…ÄXN}, состоящих из оценок вида yi = {xk1, xm2,..., xtN }, где вектор yi имеет одну из оценок по шкале каждого из критериев; запись Y = {X1ÄX2Ä…ÄXN} определяет N-мерную сетку, каждая точка которой является одним из возможных сочетаний оценок по критериям;

5) заданные альтернативы из множества A = {a1, a2, …, as}, имеющие оценки, соответствующие векторам: y1, y2, …, ys.

Требуется: на основе предпочтений ЛПР построить правило упорядочения многокритериальных альтернатив (решающее правило) и на основе этого правила упорядочить заданные альтернативы.

10.2. Пример: как оценить проекты?

Пусть группа частных лиц решила организовать фонд для вложения средств в научно-технические проекты прикладного характера. Известно, что подобные фонды существуют во многих странах и что именно наукоемкие проекты могут привести к большим финансовым успехам. Организатор фонда был заинтересован в эффективной системе отбора проектов. Для разработки этой системы был приглашен консультант по принятию решений.

Консультант совместно с организатором фонда (далее будем называть его ЛПР) разработал анкету для оценки проектов. В анкете нашла отражение политика ЛПР в виде перечня основных, важных для него критериев качества проектов со шкалами возможных значений по ним (оценки по каждому критерию расположены от лучших к худшим).

Критерии оценки проектов

A. Степень проверенности замысла:

1) созданы единичные изделия;

2) разработана технология;

3) предложена идея. Б. Окупаемость проекта:

1) менее полугода после начала производства;

2) год после начала производства;

3) два года и более.

B. Трудности организации производства (при наличии денежных ресурсов):

1) малые;

2) средние;

3) большие.

Г. Наличие спроса на продукт (изделие):

1) большой спрос;

2) достаточный спрос;

3) неопределенный спрос.

Заранее неизвестно, какие проекты поступят в фонд. Но известно, что необходимо отобрать для инвестирования группу лучших проектов, суммарные ресурсные потребности которых не превышают возможности фонда.

Консультант предложил заранее договориться с группой экспертов об их участии в оценке проектов. Каждый из приглашенных экспертов должен был выбрать для поступившего проекта одну из оценок на шкале каждого из критериев. Еще до поступления проектов необходимо было определить способ расположения проектов по качеству от лучших к худшим. Что такое лучшее понятие субъективное. Так как ЛПР отвечает за фонд, то именно его предпочтения должны лежать в основе оценки качества проектов. Нужно определить эти предпочтения и построить решающее правило.

10.3. Выявление предпочтений ЛПР

Единая порядковая шкала для двух критериев

При любой совокупности критериев мы можем предположить, что существует идеальная альтернатива, имеющая лучшие оценки по всем критериям. Будем рассматривать идеальную альтернативу как опорную ситуацию, ориентируясь на которую сравним между собой понижения качества вдоль шкал двух критериев. Покажем, какая информация в данном случае требуется от ЛПР.

Пусть оценки по (N — 2) критериям имеют лучшие (первые) значения, а по двум критериям i и j могут изменяться. Переход от лучших оценок к худшим связан с понижением качества. Пусть первоначальная альтернатива имеет все лучшие оценки. Поставим перед ЛПР следующий вопрос.

Что вы предпочитаете:

альтернативу 1 с оценками xi1 xj2 ?

альтернативу 2 с оценками xi2 xj1 ?

Выберите один из ответов:

альтернатива 1 лучше альтернативы 2;

альтернативы 1 и 2 равноценны;

альтернатива 2 лучше альтернативы 1.

Следующий вопрос ставится в зависимости от ответа ЛПР. Пусть ЛПР предпочитает альтернативу xi1 xj2. Тогда следующий вопрос относится к сравнению альтернатив xi2 xj1 (худшая в первой паре) и xi1 xj3 (которая получается из лучшей в первой паре путем понижения второй оценки на одну градацию). Общее правило таково: худшая альтернатива в первой паре сравнивается с альтернативой, получаемой из лучшей путем понижения на одну градацию худшей оценки.

Нетрудно убедиться, что проведенные сравнения позволяют упорядочить оценки двух шкал и построить объединенную шкалу. Назовем ее единой порядковой шкалой (ЕПШ) двух критериев. Покажем на приведенном выше примере процедуру построения ЕПШ для двух критериев у опорной ситуации (сочетание лучших или худших оценок по всем критериям).

Обратимся к списку критериев. Представим себе идеальный проект, состоящий из лучших оценок по всем критериям. В жизни такое почти не встречается, и мы будем использовать этот образ только как точку отсчета. Отходя от этого идеала, будем понижать оценки по двум критериям: А (степень прове-ренности) и Б (окупаемость).

Вопрос. Что вы предпочитаете: проект с разработанной технологией и сроком окупаемости в полгода или проект, где уже выпущены единичные изделия, но срок окупаемости — один год?

Ответ ЛПР. Проект, для которого срок окупаемости год, но уже есть единичные изделия.

Вопрос. Что вы предпочитаете: проект со сроком окупаемости полгода и с разработанной технологией или проект, где уже имеются единичные изделия, но срок окупаемости — два года и более?

Ответ ЛПР. Проект с разработанной технологией и сроком окупаемости полгода.

Вопрос. Что вы предпочитаете: проект, где уже есть единичные изделия, но с большим (два года и более) сроком окупаемости, или проект, где срок окупаемости полгода, но есть лишь идея изготовления?

Ответ ЛПР. Оба варианта плохи, но лучше проект, где есть единичные изделия, хотя и большой срок окупаемости.

На рис. 8.1 представлены вопросы и ответы с использованием обозначений критериев (направленная стрелка означает предпочтение).

Рнс. 8.1. Сравнения оценок на шкалах двух критериев у первой

опорной ситуации

Первое и второе сравнения показывают, что оценка AzB может быть помещена между оценками AiB2 и AiBs. Все оценки, представленные на рис. 8.1, можно расположить на единой шкале, на которой качество убывает слева направо:

(1)

Эту единую шкалу можно представить в более простом виде, если учесть, что по одному из критериев — А или Б — лучшая оценка. Иными словами, вместо A1Б2 будем указывать лишь Б2 как оценку, отличающуюся от лучшей. Тогда построенная порядковая шкала может быть представлена в виде:

A1Б1В1Г1 Þ Б2 Þ А2 Þ Б3 Þ А3. (2)

Таким образом, ответы на приведенные выше вопросы позволили объединить в единую шкалу шкалы критериев А и Б. Точно так же можно объединить шкалы критериев А и В при предположении, что по критериям Б и Г будут лучшие оценки, и т.д. Иными словами, берутся все пары критериев (сочетания по два из четырех критериев) при предположении, что два из них, не входящие в пару, имеют лучшие оценки.

Приведем простые правила, определяющие, как в нашем примере задавать вопросы при объединении двух шкал:

1) сравниваются две средние оценки — одна из них становится лучшей, другая худшей;

2) худшая при сравнении оценка сопоставляется с нижней оценкой шкалы второго критерия (на рис. 8.1 видно, что при сравнении средних оценок Б2 является лучшей, а А2 — худшей, следовательно, вторым вопросом А2 сравнивается с Б3);

3) худшая во втором сравнении оценка сопоставляется с нижней оценкой второго критерия (так, Б3 сравнивается с А3 на рис. 8.1) и т.д.

Проверка условия независимости для двух критериев

Единая порядковая шкала содержит ценную информацию о предпочтениях ЛПР. Однако использование этой информации возможно при независимости сравнений, сделанных ЛПР, от изменения опорной ситуации.

Назовем два критерия независимыми по изменению качества, если ЕПШ, построенная для оценок этих критериев, остается неизменной при любых одинаковых оценках по другим критериям.

Проверка условия независимости по изменению качества осуществляется следующим образом. Повторим опрос ЛПР по сравнению оценок на шкалах двух критериев при предположении, что по прочим критериям имеются худшие оценки. При таком опросе предполагается, что первоначально по всем критериям имеются худшие оценки, а затем осуществляются сравнения улучшенных оценок по шкалам двух критериев. В результате получаем часть ЕПШ для этой же пары критериев, построенную уже у второй опорной ситуации. Если две ЕПШ совпадают, то можно принять, что два критерия независимы.

Дадим содержательное объяснение такого способа проверки. Каждое сочетание оценок критериев представляет для ЛПР образ определенной альтернативы. Наиболее яркими, «контрастными» для ЛПР являются два образа, соответствующие сочетаниям лучших и худших оценок по всем критериям (опорные ситуации). Можно принять, что условия независимости выполняются, если эти образы не влияют на сравнения, совершаемые ЛПР.

Обратимся опять к нашему примеру. Повторяем сравнения оценок по критериям А и Б при предположении, что по критериям В и Г имеются худшие оценки. Возможный результат таких сравнений представлен на рис. 8.2.

Нетрудно убедиться, что результаты сравнений можно представить в виде отрезка ЕПШ:

Б2 Þ А2 Þ А3Б3В3Г3. (3)

Критерии А и Б независимы по изменению качества, так как ЕПШ, построенные у двух опорных ситуаций, непротиворечивы.

Независимость по понижению качества для группы критериев

Поиск условий независимости группы критериев от остальных является предметом исследования во многих работах в области принятия решений. Так, если все пары критериев независимы по предпочтению от остальных, то доказан факт независимости любой группы критериев [9].

Легко увидеть, что введенное выше условие независимости по понижению качества близко к известному условию независимости по предпочтению.

Справедливо следующее.

Рис. 8.2. Сравнения, совершаемые ЛПР у второй опорной ситуации

Утверждение 1. В случае, когда все пары критериев независимы по понижению качества, любая группа критериев независима по понижению качества.

Действительно, предложенная выше проверка для всех пар критериев достаточно полная. Трудно предположить существование зависимости более сложного характера.

В случаях, когда обнаружена зависимость критериев, рекомендуется изменить описание проблемы для исключения этой зависимости [11]. В [3] даны примеры изменения описания проблемы с целью получения независимой системы критериев.

Единая порядковая шкала оценок всех критериев

В методе ЗАПРОС опрос ЛПР у двух опорных ситуаций осуществляется для всех 0,5N(N 1) пар критериев. Непротиворечивые ЕПШ для пар критериев можно объединить. Алгоритм построения общей ЕПШ для оценок всех критериев на основе парных ЕПШ у первой опорной ситуации состоит в следующем. Парные ЕПШ имеют единую начальную точку — сочетание лучших оценок по всем критериям. Совокупность парных ЕПШ с единой начальной точкой может быть представлена в виде графа. Для построения общей ЕПШ может использоваться стандартная процедура, так называемая разборка графа. Поместим на общей ЕПШ сочетание всех лучших оценок как начальную точку и удалим ее из графа. Далее определяется недоминируемая оценка на парных ЕПШ. Она помещается на общую ЕПШ, удаляется из графа, и так продолжается до переноса всех оценок на общую ЕПШ. Так как при построении парных ЕПШ все критериальные оценки сравниваются, то на общей ЕПШ все оценки упорядочены.

Обратимся к приведенному выше примеру. Предположим, что, задавая похожие вопросы и проводя такие же сравнения, мы построили единые шкалы оценок для всех пар критериев (парные ЕПШ):

(4)

Используем приведенный выше алгоритм для построения ЕПШ оценок всех критериев:

(5)

Проверка информации ЛПР на непротиворечивость

В процессе сравнений ЛПР может делать ошибки. Следовательно, необходимы процедуры проверки информации на непротиворечивость. В методе ЗАПРОС для такой проверки предусмотрены так называемые замкнутые процедуры [8].

В методе ЗАПРОС предлагается строить ЕПШ для всех 0,5(N 1) пар критериев. Нетрудно убедиться, что из ЕПШ для 1-го и 2-го критериев и ЕПШ для 2-го и 3-го критериев можно частично упорядочить оценки всех трех критериев. Сравнение 1-го и 3-го критериев позволяет не только построить ЕПШ для трех критериев, но и частично проверить информацию ЛПР на непротиворечивость, так как часть информации дублируется. Нетранзитивность результатов сравнений означает наличие противоречивых ответов ЛПР.

При построении единой ЕПШ для оценок всех критериев информация ЛПР проверяется на непротиворечивость. Если на каком-то этапе разборки графа нельзя выделить недоминируемую критериальную оценку, то это свидетельствует о противоречии в информации ЛПР. Противоречивые сравнения предъявляются ЛПР для анализа. Заметим, что с ростом N (усложнением задачи) количество дублирующей информации (позволяющей осуществить дополнительную проверку) увеличивается. Конечно, такая проверка не является исчерпывающей, но она представляется достаточно полной.

Обратимся к приведенному выше примеру. Сравнения оценок для одной пары критериев при построении парной ЕПШ могут противоречить сравнениям, сделанным при построении ЕПШ для другой пары критериев. Так, предположим, что единая шкала критериев Б и В вместо вида, представленного в (4), имеет иной вид: Б1В1 Þ B2 Þ B2. Тогда при попытке построения единой шкалы всех критериев мы сталкиваемся с противоречием. Из единой шкалы для критериев А и Б следует, что Б2 предпочтительнее А2, из единой шкалы для критериев А и В — что А2 предпочтительнее В2 — см. (4) выше. Следовательно,

(6)

Возникающее противоречие не дает возможности разместить оценки а£, б£ и В2 на единой шкале. Обычно такое противоречие является результатом непоследовательности в суждениях. Необходимо разобраться в проведенных сравнениях и изменить противоречивые решения.

Итак, при построении единой шкалы оценок критериев осуществляется проверка предпочтений на непротиворечивость. Возможность соединения нескольких парных шкал в единую шкалу является подтверждением непротиворечивости предпочтений ЛПР.

Вопросы, необходимые для построения единой ЕПШ, составляют весь диалог с ЛПР. Больше информации от ЛПР не требуется. В нашем случае (четыре критерия) ЛПР должен ответить на 24 вопроса (если он отвечает непротиворечиво). По опыту использования системы ЗАПРОС известно, что этот диалог занимает 10—15 мин.

Частный случай

При N=2 понятие опорной ситуации не существует. Вместо построения ЕПЩ осуществляются сравнения понижений качества от лучших оценок и сравнения всех повышений качества от худших оценок. Полученные результаты (если они непротиворечивы) непосредственно используются для сравнения альтернатив, имеющих оценки по двум критериям.

Психологическая корректность

процедурывыявления предпочтений ЛПР

Процедура выявления предпочтений ЛПР в методе ЗАПРОС является корректной с психологической точки зрения. Ее проверка производилась неоднократно в различных экспериментах [8]. Каждый из испытуемых был поставлен в положение ЛПР, объекты оценивались по нескольким критериям с качественными шкалами. Проверка по группе испытуемых показала, что при пяти критериях они допускали не более одного — двух противоречивых ответа из 30-40 (для одной опорной ситуации). Данная замкнутая процедура выявления предпочтений и построения единой шкалы оценок критериев неоднократно проверялась в экспериментах и на практике (при работе с ЛПР).

Информация, получаемая от ЛПР, была почти всегда непротиворечива. Так, при опросе разных ЛПР по четырем критериям с 3-5 оценками на шкалах не наблюдалось ни одного нарушения транзитивности. При опросе по шести и семи критериям с 3-6 оценками на шкалах наблюдались 1-3 противоречивых ответа из 50—70. Повторный опрос ЛПР позволил сразу же устранить эти противоречия. Можно предположить, что при 3—4 оценках на шкалах критериев небольшое число противоречий сохранится до N=10.

10.4. Сравнение альтернатив

Сравнение двух альтернатив

Утверждение 2. Упорядоченность оценок на парной ЕПШ либо определяется посредством попарных сравнений, осуществляемых ЛПР, либо получается в результате транзитивного распространения, следующего из порядковых шкал критериев.

Действительно, в тех случаях, когда оценки не были сравнены непосредственно ЛПР, их положение на ЕПШ определяется:

¨ либо упорядочением оценок на шкалах критериев, если они принадлежат одной шкале;

¨ либо транзитивным распространением результатов сравнения ЛПР на основе упорядоченных оценок на шкалах критериев.

Обратимся к примеру: ЕПШ для критериев А и Б. Оценки А2 и Б2 сравнивались ЛПР. Превосходство оценки А3 над оценкой Б3 следует из превосходства Б2 над Б3 (порядковая шкала).

Утверждение 3. Упорядоченность оценок на общей ЕПШ следует либо из прямых сравнений ЛПР, либо из свойства упорядочения оценок на шкалах критериев.

Доказательство очевидно.

Введем функцию качества альтернативы V(yi) и сделаем следующие предположения относительно свойств этой функции:

¨ существуют максимальное и минимальное значения V(yi);

¨ при независимых критериях значение V(yi) возрастает с улучшением оценок по каждому из критериев.

Присвоим каждой оценке на единой ЕПШ ранг, начиная с лучших оценок. Так, для ЕПШ в приведенном выше примере сочетанию лучших оценок соответствует ранг 1, оценке Б2 — ранг 2, оценке аз — ранг 3 и т.д.

Рассмотрим две альтернативы: a и b, представленные в виде векторов оценок по критериям. Можно определить ранги для всех компонентов векторов аир.

Упорядочим ранги компонентов (оценок по критериям) альтернатив от лучших к худшим. Тогда каждой альтернативе можно поставить в соответствие вектор рангов оценок на ЕПШ, причем качество альтернативы определяется этим вектором:

V(a) Û V(R) = V(ri, rj, rk, ... ,r1),

V(b) Û V(Q) = (qs, qt, qu, ..., qf), (7)

где ri, rj, rk, ... ,r1 — ранги оценок альтернативы aна ЕПШ; qs, qt, qu,..., qf — ранги оценок альтернативы b на ЕПШ.

Приведем без доказательства (см. доказательство в [3]) следующее утверждение.

Утверждение 4. Если условие независимости по понижению качества выполнено для всех пар критериев и ранги оценок альтернативы a, следующие из ЕПШ, не хуже, чем ранги оценок для b, а ранг хотя бы одной оценки лучше, то альтернатива a в соответствии с предпочтениями ЛПР превосходит альтернативуb: V(a) > V(b).

Не требуют доказательства следующие утверждения.

Утверждение 5. Альтернатива a эквивалентна альтернативе b, если их оценки в соответствии с ЕПШ имеют одинаковые ранги.

Утверждение 6. Во всех случаях, когда не выполняются условия превосходства одной альтернативы над другой или их эквивалентности, альтернативы a и b несравнимы.

Следовательно, попарное сравнение упорядоченных по ЕПШ оценок дает возможность непосредственно по информации ЛПР сделать вывод о превосходстве одной альтернативы над другой либо об их эквивалентности. Если информации ЛПР недостаточно, то альтернативы несравнимы.

Упорядочение группы заданных альтернатив

Все реальные альтернативы, представленные их векторами критериальных оценок, сравниваются попарно приведенным выше способом. При этом устанавливается существование одного из трех отношений: превосходства (O1), эквивалентности (O2) или несравнимости (О3).

Пусть задана группа альтернатив и выявлены все попарные отношения между ними. Тогда отношения на совокупности альтернатив можно представить графом, вершины которого соответствуют альтернативам, направленная дуга — отношению O1, двунаправленная дуга — отношению O2, а отсутствие связи между вершинами — отношению О3. Применим к этому графу описанный выше алгоритм разборки.

Выделим на основе бинарных отношений в исходном множестве альтернатив все неподчиненные альтернативы (доминирующие над другими или несравнимые) и назовем их первым ядром. Среди альтернатив, оставшихся после удаления первого ядра, выделим второе ядро и т.д. Альтернативе, входящей в 1-е ядро, присвоим i-й ранг, если над ней доминирует какая-либо альтернатива из (i 1)-го ядра и она сама доминирует над какой-либо альтернативой из (i + 1)-го ядра. Если j-я альтернатива подчинена альтернативе из k-ro ядра и доминирует над альтернативой из (k+p)-ro ядра, то ее ранг находится в пределах от (k+1) до (k+p-1). Полученные таким образом совокупность ядер и ранги альтернатив могут использоваться для построения частичного (так как не все альтернативы сравнимы) упорядочения. Покажем эту процедуру на нашем примере.

Компьютер сравнивает попарно проекты с помощью единой шкалы оценок критериев. Пусть один из поступивших проектов имеет такие оценки: А2 (разработана технология), Б2 (окупаемость происходит за год), В1 (малые трудности организации производства), Г1 (большой спрос). Второй проект имеет оценки: А1 (есть единичные изделия), Б2 (срок окупаемости полгода), В2 (средние трудности организации производства), Г2 (достаточный спрос). Сравнивая оценки проектов по единой шкале, находим, что Б2 лучше В2 и А2 лучше Г2. Следовательно, первый проект лучше второго (по мнению ЛПР).

Отметим, что единая порядковая шкала не всегда позволяет сравнивать проекты. Так, проекты с оценками А3Б2В3Г2 и А2Б3В2Г3 не сравнимы, так как Б2 лучше А2 и В3 лучше Г3, но В2 лучше Г2 и Б3 лучше А3.

Компьютер осуществляет, таким образом, сравнения для всех пар объектов, а затем упорядочивает их по качеству.

10.5. Преимущества метода ЗАПРОС

Преимущества метода ЗАПРОС заключаются в следующем:

• все вопросы просты и понятны для ЛПР, они сформулированы на языке оценок критериев;

• отвечая на вопросы, ЛПР должен быть логичным и последовательным, компьютер проверяет его предпочтения на непротиворечивость;

• любые сравнения качества альтернатив могут быть объяснены на этом же языке.

10.6. Практическое применение метода ЗАПРОС

Метод ЗАПРОС неоднократно применялся при решении практических задач. Одной из наиболее важных была задача формирования пятилетнего плана прикладных научных исследований и разработок [12]. Число оцениваемых проектов составляло от нескольких сотен до нескольких тысяч. Была разработана анкета для экспертов, включающая восемь критериев с вербальными порядковыми шкалами: масштаб проекта, новизна ожидаемых результатов, квалификация исполнителя и т.д. Разработанное решающее правило использовалось для упорядочения проектов и отбора лучших.

Проверка прогностических возможностей метода ЗАПРОС была осуществлена по результатам выполнения пятилетнего плана НИР для 750 проектов. Частичный порядок, построенный на этапе планирования, был использован для разделения принятых проектов на три группы по их качеству. Оценка качества выполненных проектов также проводилась с помощью метода ЗАПРОС, но использовались уже другие критерии. Выполненные проекты также были разделены на три группы по их качеству. Анализ показал, что на множестве из 750 проектов была корреляция 82\% между оценками на этапе планирования и оценками выполненных проектов [13], что можно считать хорошим результатом при пятилетнем сроке выполнения проектов.