1.7. теоретическая дисперсия выборочного среднего

1.7. теоретическая дисперсия выборочного среднего

Если две переменные независимы (и следовательно, их совокупная ковариация равняется нулю), то теоретическая дисперсия суммы этих переменных будет равна сумме их теоретических дисперсий:

pop. var (х +у) = pop. var (jc) + pop. var (y) + 2 pop. cov (x, y) =

= pop. var (x) + pop. var (y) = o2 + a2. (1.21)

Из данного результата можно получить более общее правило о том, что теоретическая дисперсия суммы любого числа переменных равняется сумме их дисперсий при условии, что наблюдения независимы друг от друга. При этом можно показать, что если случайная переменная х имеет дисперсию а2, то дисперсия выборочного среднего х будет равна с2/п, где п — число наблюдений в выборке:

pop. var (х) = pop. var І*1 + і _L рор> Var (Х| + ...+ xn) = I n J /1= (pop.var(x{) + ...+ pop.var(*„)} = ~{c2 +...+ o2} = \{no2} = о2 /п. (1.22)

Как было показано в обзоре, выборочное среднее является наиболее эффективной несмещенной оценкой теоретического среднего при условии, что наблюдения проводятся независимо друг от друга на основе одного и того же распределения.