1.9. почему ковариация не является хорошей мерой связи?

1.9. почему ковариация не является хорошей мерой связи?

Коэффициент корреляции является более подходящим измерителем зависимости, чем ковариация. Основная причина этого заключается в том, что ковариация зависит от единиц, в которых измеряются переменные х и у, в то время как коэффициент корреляции есть величина безразмерная. Это будет показано для случая выборочного коэффициента корреляции, доказательство для теоретического коэффициента корреляции будет оставлено для самостоятельного упражнения.

Возвращаясь к примеру со спросом на бензин, мы исследуем, что может случиться, когда при вычислении индекса реальных цен в качестве базового года используется 1980 г. вместо 1972 г. В этом случае ковариация изменится, а коэффициент корреляции — нет.

При использовании 1972 г. в качестве базового года индекс реальных цен для 1980 г. составил 188,8. Если теперь принять этот индекс за 100 для 1980 г., то нужно пересчитать ряды путем умножения на коэффициент 100/188,8 = 0,53. Новые ряды представлены во второй колонке табл. 1.8 и будут обозначены через Р. Величина Р численно меньше, чем р.

Так как каждое отдельное наблюдение ряда цен было пересчитано с коэффициентом 0,53, то отсюда следует, что и среднее значение за выборочный

период (Р) пересчитывается с этим коэффициентом. Следовательно, в году t

Р,-Р = 0,53pt -0,53р = 0,53(р, -~р). (1.27)

Это означает, что в году /

(Р Р){у -у) = 0,53(/> р)(у -у), (1.28)

и, следовательно, Cov {Р, у) = 0,53 Cov (р, у). Однако на коэффициент корреляции это изменение не повлияет. Коэффициент корреляции для Р и у будет равен:

г Соу(Л^)

р'у уІУат(Р)Уат(у) ' (L29>

Числитель (верхняя часть дроби) был умножен на 0,53, но на ту же вели-ину был умножен и знаменатель (нижняя часть), так как Var {Р) = (0,53)2 Var (/?). (Необходимо иметь в виду, что, когда вы умножаете переменную величину на постоянную, ее дисперсия умножается на эту постоянную в квадрате.) Знаменатель умножается на 0,53, а не на (0,53)2, так как из Var (Р) извлекается квадратный корень.

Упражнения

1.6. Вычислите коэффициент корреляции для Р и у, используя данные табл. 1.8, и проверьте, что он будет таким же, как и коэффициент корреляции для р и у.

1.7. Покажите, что теоретический коэффициент корреляции останется неизменным при изменении единицы измерения одной из переменных.