3.4. несмещенность коэффициентов регрессии
3.4. несмещенность коэффициентов регрессии
На основании уравнения (3.6) можно показать, что b будет несмещенной оценкой р, если выполняется 4-е условие Гаусса—Маркова:
так как р — константа. Если мы примем сильную форму 4-го условия Гаусса-Маркова и предположим, чтох— неслучайная величина, мы можем также считать Var (х) известной константой и, таким образом,
Е{Ь] = р +v^)£{CovMl <ЗЛ8> Далее, если х — неслучайная величина, то Е{Со (х, и)} = 0 и, следовательно,
£{*} = р. (3.19)
Таким образом, b — несмещенная оценка р. Можно получить тот же результат со слабой формой 4-го условия Гаусса—Маркова (которая допускает, что переменная х имеет случайную ошибку, но предполагает, что она распределена независимо от и); это показано в главе 8.
За исключением того случая, когда случайные факторы в п наблюдениях в точности «гасят» друг друга, что может произойти лишь при случайном совпадении, Ъ будет отличаться от р в каждом конкретном эксперименте. Однако с учетом соотношения (3.19) не будет систематической ошибки, завышающей или занижающей оценку. То же самое справедливо и для коэффициента а. Используем уравнение (2.35):
а = у-Ьх. (3.20)
Следовательно,
Е{а} = Е{у}-хЕ{Ь]. (3.21)
Поскольку у определяется уравнением (3.1),
Е{Уі) = а + рх, + = а + рх,-, (3.22)
так как Е{и^ = О, если выполнено 1-е условие Гаусса—Маркова. Следовательно,
Е{у} = а + $х. (3.23)
Подставив это выражение в (3.21) и воспользовавшись тем, что Е{Ь) = р, получим:
£{л} = (а + Рх)-Рх = а. (3.24)
Таким образом, а — это несмещенная оценка а при условии выполнения 1-го и 4-го условий Гаусса—Маркова. Безусловно, для любой конкретной выборки фактор случайности приведет к расхождению оценки и истинного значения.
Обсуждение Введение в эконометрику
Комментарии, рецензии и отзывы