3.7. проверка гипотез, относящихся к коэффициентам регрессии
3.7. проверка гипотез, относящихся к коэффициентам регрессии
С чего начинается статистическое исследование — с теоретического построения гипотез или с эмпирического анализа? В действительности, теория и практика взаимно обогащают друг друга, и подобные вопросы не задаются. Поэтому вопрос о проверке гипотез мы будем рассматривать с двух точек зрения. С одной стороны, мы можем предположить, что сначала формулируется гипотеза, и цель эксперимента заключается в выяснении ее применимости. Это приведет к проверке гипотезы о значимости. С другой стороны, мы можем сначала провести эксперимент и затем определить, какие из теоретических гипотез соответствуют результатам эксперимента. Это приводит к построению доверительных интервалов.
Вам уже известна логика, лежащая в основе построения критериев значимости и доверительных интервалов и описанная в вводном курсе статистики. Поэтому вы уже знакомы с большинством понятий, используемых в регрессионном анализе. Однако один вопрос может оказаться для вас новым — это использование односторонних критериев. Такие критерии применяются в регрессионном анализе очень часто. В самом деле, они являются, или должны быть, более обычными здесь, чем двусторонние критерии, традиционно используемые в учебниках. Поэтому важно, чтобы вы поняли целесообразность их применения, и путь к этому лежит через последовательный ряд небольших аналитических шагов. Ни один из них не должен представлять трудности, но следует иметь в виду, что если вы попытаетесь сократить путь или, еще хуже, сделаете попытку свести всю процедуру к механическому использованию нескольких формул, вы столкнетесь с большими трудностями.
Формулирование нулевой гипотезы
Начнем с допущения о том, что формулирование гипотезы предшествует эксперименту и что вы уже имеете в виду некоторую гипотетическую связь или зависимость. Например, можно считать, что темпы общей инфляции в экономике (р, в процентах) зависят от темпов инфляции, вызванной ростом заработной платы (vv, в процентах), и что эта зависимость описывается линейным уравнением:
p=a + $w + u, (3.34)
где аир — параметры, а и — случайный член. Далее можно построить гипотезу о том, что без учета эффектов, вносимых случайным членом, общая инфляция равна инфляции, вызванной ростом заработной платы. В этих условиях можно сказать, что гипотеза, которую вы собираетесь проверить, считается нулевой, обозначается Н0 и состоит в том, что р = 1. Мы также определяем альтернативную гипотезу, которая обозначается Нх и представляет собой заключение, даваемое в том случае, если экспериментальная проверка указала на ложность Н0. В данном случае эта гипотеза состоит в том, что р * 1. Две гипотезы сформулированы с использованием следующих обозначений:
Я0:Р=1;
В этом конкретном случае, если действительно считать, что общая инфляция равна инфляции, вызванной ростом заработной платы, мы делаем попытку защитить нулевую гипотезу Н0, подвергнув ее максимально строгой проверке и надеясь, что она не будет опровергнута. Однако на практике более обычным является построение нулевой гипотезы, которая затем будет проверяться с помощью альтернативной гипотезы, которая предполагается верной. Например, рассмотрим простую функцию спроса:
у = а + $х + и, (3.35)
где у — величина спроса, скажем, на продукты питания, ах — доход. Исходя из вполне разумных теоретических оснований, вы предполагаете, что спрос на продукты питания зависит от дохода, но ваша гипотеза недостаточно «сильна», чтобы можно было определить конкретное значение для р. Тем не менее вы можете установить наличие зависимости величины у от х, используя для этого обратную процедуру, когда в качестве нулевой гипотезы принимается утверждение о том, что величина у не зависит от х, т. е. что Р = 0. Альтернативная гипотеза заключается в том, что р ф 0, иными словами, что значение х влияет на величину у. Если можно отвергнуть нулевую гипотезу, вы таким образом устанавливаете наличие зависимости, по крайней мере в общих чертах. С использованием введенной системы обозначений нулевая и альтернативная гипотезы соответственно примут вид:
#0:р = 0 и #,:р*0.
Последующее рассмотрение касается модели парной регрессии (3.1). Оно будет относиться только к коэффициенту наклона р, но точно такие же процедуры применимы и к постоянному члену а. Возьмем общий случай, в котором в нулевой гипотезе утверждается, что р равно некоторому конкретному значению, скажем, Р0, и альтернативная гипотеза состоит в том, что р не равно этому значению (Я0: р = Р0; Н{: Р ф Р0). Вы можете предпринять попытку отклонить или подтвердить нулевую гипотезу в зависимости от того, что вам необходимо в данном случае. Будем предполагать, что четыре условия Гаусса—Маркова выполняются.
Вывод следствий гипотезы
Если гипотеза Н0 верна, то оценки р, полученные в ходе регрессионного анализа, будут иметь распределение с математическим ожиданием ро и дисперсией G2J[n Var (х)] [см. уравнение (3.25)]. Теперь мы вводим допущение, что остаточный член и имеет нормальное распределение. Если это так, то величина Ь будет также нормально распределена, как показано на рис. 3.4. Сокращение
 |
Функция плотности вероятности для b «s. d.» на рисунке соответствует величине стандартного отклонения оценки Ь,
т. е. УдуагС*)' Учитывая структуру нормального распределения, большинство
оценок параметра р будет находиться в пределах двух стандартных отклонений от Р0 (если верна гипотеза Я0: р = ро).
Сначала мы допустим, что знаем значение стандартного отклонения величины Ь. Это наиболее неправдоподобное допущение, и мы позднее отбросим его. На практике же значение этого отклонения (так же как и неизвестные значения параметров а и Р) подлежит оценке. Можно, тем не менее, упростить рассмотрение, предположив, что точное значение отклонения известно, и, следовательно, имея возможность построить график (рис. 3.4).
Проиллюстрируем это на примере модели общей инфляции (3.34). Предположим, что некоторым образом мы знаем, что стандартное отклонение величины b составляет 0,1. Тогда если нулевая гипотеза Я0: Р = 1 верна, то оценки коэффициентов регрессии будут распределены так, как это показано на рис. 3.5. Из этого рисунка можно видеть, что при справедливости нулевой гипотезы оценки будут находиться приблизительно между 0,8 и 1,2.
Сопоставимость, случайность и уровень значимости
 |
Вы можете продолжать считать, что нулевая гипотеза Р = 1,0 верна и что эксперимент дал случайный результат. Вы допускаете, что вероятность получения такого низкого значения для р является очень небольшой, но, тем не менее, она имеет место в 0,27\% случаев, и вы допускаете, что это именно тот случай.
Вы можете сделать вывод о том, что гипотеза противоречит результату оценивания регрессии. Вы не удовлетворяетесь объяснением, данным в пункте 7, так как вероятность очень мала, и понимаете, что наиболее правдоподобным объяснением является то, что величина р вовсе не равняется 1,0. Другими словами, вы принимаете альтернативную гипотезу Я,: Р *Р0.
Каким образом вы определите, когда необходимо выбрать первый вывод, а когда — второй? Очевидно, что чем меньше вероятность построения регрессии, подобной той, которую вы получили при условии правильности гипотезы, тем больше вероятность отказа от гипотезы и выбор второго вывода. Насколько малой должна быть указанная вероятность для выбора второго вывода?
На этот вопрос нет и не может быть определенного ответа. В большинстве работ по экономике за критический уровень берется 5 или 1\%. Если выбирается уровень 5\%, то переключение на второй вывод происходит в том случае, когда при истинности нулевой гипотезы вероятность получения столь экстремального значения b составляет менее 5\%. В этом случае говорят, что нулевая гипотеза должна быть отвергнута при 5-процентном уровне значимости.
Это происходит в том случае, когда величина b отстоит от Р0 более чем на 1,96 стандартного отклонения. Если вы посмотрите на таблицу нормального распределения (табл. АЛ в конце книги), то увидите, что вероятность того, что величина b будет превосходить среднее значение на более чем 1,96 стандартного отклонения, составляет 2,5\% и, аналогичным образом, вероятность того, что эта величина будет более чем на 1,96 стандартного отклонения ниже среднего значения, также будет 2,5\%. Общая вероятность того, что данная величина отстоит от математического ожидания более чем на 1,96 стандартного отклонения, составляет, таким образом, 5\%.
Можно обобщить это решающее правило в математической форме, сказав, что нулевая гипотеза отвергается, если
Z> 1,96 или Z< -1,96,
(3.36)
где Z — число стандартных отклонений между регрессионной оценкой и гипотетическим значением р.*
Z =
Разница между оценкой регрессии и гипотетическим значением
Стандартное отклонение величины b
s.d.(Z>)
(3.37)
Нулевая гипотеза не будет отвергнута, если
-1,96 < Z< 1,96.
(3.38)
Это условие можно записать с помощью величин b и ро, подставив выражение для Z из уравнения (3.37):
-1'96<f^<1'96(3.39)
Умножив все части неравенства на стандартное отклонение величины Ь, можно получить:
-1,96 s.d. (Ь)< Ь -р0< 1,96 s.d. (b), (3.40) а из этого уравнения можно получить следующее:
Р0 1,96 s.d. (b) < b < Ро + 1,96 s.d. (b). (3.41)
Уравнение (3.41) дает множество значений для величины Ь, которые не приводят к отказу от конкретной нулевой гипотезы о том, что р = р0. Это множество значений получило название области принятия гипотезы для b при 5-процентном уровне значимости.
В нашем примере, где s.d. (b) = 0,1, можно отвергнуть гипотезу при уровне значимости в 5\%, если величина b находится выше или ниже гипотетического среднего значения на величину более 0,196, т. е. выше 1,196 или ниже 0,804. Таким образом, область принятия гипотезы включает значения величины b от 0,804 до 1,196. Это показано незаштрихованной областью нарис. 3.6.
Функция плотности вероятности для b
Аналогичным образом считается, что нулевая гипотеза должна быть отвергнута при уровне значимости в 1\%, если гипотеза подразумевает, что вероятность получения столь экстремального значения для величины b составляет менее 1\%. Это происходит, когда величина b отстоит на более чем 2,58 стандартного отклонения вверх или вниз от гипотетического значения р, т. е. когда
Z> 2,58 или Z< -2,58. (3.42)
Возвращаясь к таблице нормального распределения, можно видеть, что вероятность того, что величина b более чем на 2,58 стандартного отклонения превысит свое математическое ожидание, составляет 0,5\% и та же самая вероятность будет для варианта, что b окажется ниже своего математического ожидания на более чем 2,58 стандартного отклонения. Таким образом, общая вероятность получения столь экстремальных значений составляет 1\%. В нашем примере вы отвергнете нулевую гипотезу о том, что р= 1,0, если оценка коэффициента регрессии будет находиться выше 1,258 или ниже 0,742.
Можно задаться вопросом: почему исследователи обычно представляют свои результаты при уровнях значимости в 5 и 1\%? Почему недостаточно ограничиться только одним уровнем? Причина заключается в том, что обычно делается попытка найти баланс между риском допущения ошибок I и IIрода. Ошибка Iрода имеет место в том случае, когда вы отвергаете истинную нулевую гипотезу. Ошибка IIрода возникает, когда вы не отвергаете ложную гипотезу.
Ошибки I и II рода в повседневной жизни
Проблема, как избежать ошибок I и II рода, известна всем. Типичным примером этого является расследование уголовного преступления. Если за нулевую гипотезу принять вариант, что подсудимый невиновен, то ошибка I рода происходит, когда суд присяжных признает его виновным. Ошибка II рода имеет место в том случае, когда суд присяжных ошибочно оправдывает виновного подсудимого.
Вполне очевидно, что чем ниже критическая вероятность, тем меньше риск получения ошибок I рода. Если вы используете уровень значимости, равный 5\%, то вы отвергнете истинную гипотезу в 5\% случаев. Если уровень значимости составляет 1\%, вы совершите ошибку I рода в 1\% случаев. Таким образом, в этом отношении однопроцентный уровень значимости более надежен. Если вы отвергли гипотезу на данном уровне, вы почти наверняка были вправе сделать это. Именно по этой причине однопроцентный уровень значимости описывается как «более высокий» в сравнении с 5-процентным уровнем.
В то же время если нулевая гипотеза ложна, то чем выше уровень значимости, тем шире область принятия гипотезы, тем выше вероятность того, что вы не отвергнете ее, и тем выше риск допущения ошибки II рода. Таким образом, вы оказываетесь перед дилеммой. Если вы будете настаивать на очень высоком уровне значимости, то столкнетесь с относительно высоким риском допущения ошибки II рода, когда гипотеза окажется ложной. Если вы выбираете низкий уровень значимости, то оказываетесь перед относительно высоким риском допущения ошибки I рода, если гипотеза истинна.
Большинство людей выбирают достаточно простую форму обеспечения гарантий и осуществляют проверку на обоих уровнях значимости, представляя результаты каждой такой проверки. На самом деле часто нет необходимости непосредственно ссылаться на оба результата. Так как величина Ъ должна быть более «экстремальной» для гипотезы, отвергаемой при однопроцентном уровне значимости, но не при 5-процентном, и если вы отклоняете ее при однопроцентном уровне, то из этого автоматически следует, что вы отклоните ее и при уровне значимости в 5\%, и нет необходимости упоминать об этом. Если же вы не отвергаете гипотезу при уровне значимости в 5\%, то из этого автоматически следует, что вы не отвергнете ее и при однопроцентном уровне значимости, и вновь нет смысла об этом говорить. Только в одном случае вы должны представить оба результата: если гипотеза отвергается на 5-процентном, но не на однопроцентном уровне значимости.
Что происходит, когда стандартное отклонение величины b неизвестно?
До сих пор мы считали, что стандартное отклонение величины Ь известно. Однако на практике это допущение нереально. Это можно показать на примере стандартной ошибки для величины 6, взятой из уравнения (3.27). Это приводит к двум изменениям процедуры проверки гипотез. Во-первых, величина Zonpe-деляется на основе использования стандартной ошибки со. (Ь) вместо стандартного отклонения s.d. (b) и носит название /-статистики:
t _ b~Ро /0 Л^
r--^(b)' <3-43)
Во-вторых, критические уровни / определяются величиной, имеющей так называемое /-распределение вместо нормального распределения. Мы не будем вдаваться в причины этого или даже описывать /-распределение математически. Достаточно будет сказать, что оно родственно нормальному распределению, а его точная форма зависит от числа степеней свободы в регрессии, и оно все лучше аппроксимируется нормальным распределением по мере увеличения числа степеней свободы. Вы, конечно, уже встречали понятие /-распределения во вводном курсе статистики. В табл. А.2 в конце книги представлены критические значения для /, сгруппированных по уровням значимости и числу степеней свободы.
Оценивание каждого параметра в уравнении регрессии поглощает одну степень свободы в выборке. Отсюда число степеней свободы равняется количеству наблюдений в выборке минус количество оцениваемых параметров. Параметрами являются постоянный член (при условии, что он введен в модель регрессии) и коэффициенты при независимых переменных. В рассматриваемом случае парной регрессии оцениваются только два параметра аир, поэтому число степеней свободы составляет п — 2. Следует подчеркнуть, что, когда мы перейдем к множественному регрессионному анализу, потребуется более общее выражение.
Критическое значение /, которое мы обозначим как/ да, заменит число 1,96 в уравнении (3.39). Таким образом, условие того, что оценка регрессии не должна приводить к отказу от нулевой гипотезы р = ро, будет следующим:
*-Ро
~*крит < c.o.(b) < *крит' (3*44)
Примеры
В разделе 2.6 функция расходов на питание оценивалась как зависимость от личного располагаемого дохода на основании совокупных ежегодных данных для
США за 25-летний срок (1959-1983 гг.) и уравнение регрессии было представлено формулой (2.42):
>>= 55,3 + 0,093* (3.45) (2,4) (0,003)
Цифры, указанные в скобках, являются стандартными ошибками.
Предположим, что одна из задач оценивания регрессии состояла в подтверждении догадки о том, что уровень расходов на питание зависит от размера дохода. Соответственно, мы формулируем нулевую гипотезу о том, что величина р равняется нулю, и затем пытаемся опровергнуть ее. Соответствующая t-статистика, вычисленная по формуле (3.43), есть оценка коэффициента, деленная на ее стандартную ошибку:
;-с^^-^^-оооз~ ' (3'46)
Так как в выборку включено 25 наблюдений и мы оценили два параметра, то число степеней свободы составляет 23. Критическое значение для / при 5-процентном уровне значимости с 23 степенями свободы равняется 2,069. Причем /-статистика не лежит между значениями 2,069 и —2,069. Следовательно, неравенство (3.44) не выполняется и мы отвергаем нулевую гипотезу, сделав вывод о том, что величина р в действительности отличается от нуля и, следовательно, размер дохода влияет на уровень расходов на питание.
Если этот критерий описать словами, то верхний и нижний 2,5-процентные «хвосты» /-распределения начинаются со стандартного отклонения 2,069 вверх и вниз от его математического ожидания, равного нулю. Коэффициент регрессии, который по оценкам находится в пределах 2,069 стандартного отклонения от гипотетического значения, не приводит к отказу от последнего. В рассматриваемом случае расхождение будет эквивалентно 31,0 стандартного отклонения, и мы приходим к выводу о том, что результат оценивания регрессии противоречит нулевой гипотезе.
Конечно, в том, что мы используем уровень значимости в 5\% в качестве основы для проверки гипотезы, существует 5-процентный риск допущения ошибки I рода. В этом случае мы могли бы снизить риск до 1\% за счет применения уровня значимости в 1\%. Критическое значение для г при однопроцентном уровне значимости с 23 степенями свободы составляет 2,807. Используя это число в соотношении (3.44), мы видим, что можно легко отказаться от нулевой гипотезы также и при этом уровне значимости.
Процедура установления взаимосвязи между зависимой и объясняющей переменными путем формулирования, а затем отклонения нулевой гипотезы о том, что (3 = 0, используется очень часто. Соответственно, большая часть, если не все программы регрессии, автоматически выводят /-статистику для этого специального случая; иными словами, коэффициент делится на его стандартную ошибку. Данное отношение часто обозначается как «/-статистика».
Если, однако, нулевая гипотеза определяет некоторое ненулевое значение величины р, то необходимо использовать более общее выражение (3.43), а /-статистика вычисляется вручную. Например, вновь рассмотрим модель регрессии между общей инфляцией и инфляцией, вызванной ростом заработной платы (3.34), и предположим, что выбранное уравнение регрессии оказалось следующим (в скобках указаны стандартные ошибки):
р =-1,21 +0,82*. (3.47) (0,05) (0,10)
Если теперь исследовать гипотезу о том, что общая инфляция в долгосрочном периоде будет равна инфляции, вызванной ростом заработной платы, то нулевая гипотеза будет состоять в том, что коэффициент при w равен 1,0. Соответствующая /-статистика примет вид:
£-Ро _ 0,82-1,00 _
'"^Г одо --1'8* <3-48)
Если в выборке содержится, скажем, 20 наблюдений, то число степеней свободы составит 18, а критическое значение для / при 5-процентном уровне значимости будет 2,101. В этом случае /-статистика лежит между 2,101 и —2,101, поэтому мы не отвергаем нулевую гипотезу. Оценка, равная 0,82, лежит ниже нашего гипотетического значения 1,00, но не настолько ниже, чтобы исключить возможность правильности нулевой гипотезы.
Терминология принятия (отклонения) гипотезы
В этом разделе было показано, что следует отклонить нулевую гипотезу, если /-статистика больше, чем / Л, или меньше, чем ~tKpum, и не следует отклонять эту гипотезу, если /-статистика находится межДУ ~гкрыт И гкрит' Почему «НЄ ОТКЛОНЯТЬ», К ЧЄМУ ЭТО УСЛОЖНЄНИЄ? Не
было бы проще сказать, что вы принимаете гипотезу, если /-статистика находится между ~tKpum и tKpuml
Аргументом против использования термина «принять» является то, что вы способны «принять» несколько взаимоисключающих гипотез в одно и то же время. Так, в примере с зависимостью между общей инфляцией и инфляцией, вызванной ростом заработной платы, вы не могли бы отклонить нулевую гипотезу Я0: Р = 0,9 или нулевую гипотезу Я0: р = 0,8. Логично сказать, что вы не отклоняете эти нулевые гипотезы, а также нулевую гипотезу Я0: р = 1,0, рассмотренную выше, но практически бессмысленно заявлять, что вы одновременно принимаете все три гипотезы. В следующем разделе вы увидите, что можно определить целый ряд гипотез, которые не могут быть отклонены в результате данного эксперимента. Поэтому было бы неосторожно выбрать одну из них как «принятую».
Описание результатов проверок по ^критерию
Предположим, что вы имеете теоретическую зависимость
у = a + рх + и,
и нулевая и альтернативная гипотезы заданы в виде #0:Р=ро, Hj: р ф Р0. Если для Р по выборочным данным получена оценка Ь, то области принятия и отклонения гипотез для 5-процентного и однопроцентного уровней значимости могут быть в общем представлены левой частью рис. 3.7.
Правая часть рис. 3.7 показывает те же самые области для конкретного примера модели регрессии между общей инфляцией и инфляцией, вызванной ростом заработной платы; при этом нулевая гипотеза будет иметь вид р = 0. Нулевая гипотеза не будет отклонена при уровне значимости в 5\%, если величина Ъ находится в пределах 2,101 стандартной ошибки от единицы, т. е. в диапазоне от 0,79 до 1,21, и она не будет отклонена при уровне значимости в 1\%, если величина b находится в пределах 2,878 стандартного отклонения от единицы, т. е. в диапазоне от 0,71 до 1,29.
Из рис. 3.7 можно видеть, что существует три типа зон принятия решений.
Зона, где величина b настолько далека от гипотетического значения Р, что нулевая гипотеза отклоняется как при 5-процентном, так и при однопроцентном уровнях значимости.
Зона, где величина b достаточно далека от гипотетического значения р, чтобы нулевая гипотеза была отклонена при 5-процентном, но не при однопроцентном уровне значимости.
Зона, где величина Ъ достаточно близка к гипотетическому значению р, чтобы нулевая гипотеза не была отклонена ни при одном из двух рассматриваемых уровнях значимости.
На основании схемы можно проверить, что если нулевая гипотеза отклоняется при однопроцентном уровне значимости, то она автоматически отклоняется и при 5-процентном уровне. Следовательно, в случае 1 необходимо заявить лишь об отклонении гипотезы при однопроцентном уровне значимости. Заявлять об ее отклонении при 5-процентном уровне нет необходимости. Это равнозначно тому, чтобы сделать заявление о возможности взятия прыгуном высоты в 2 м, а затем в качестве дополнения заявить о его возможности взять высоты в 1 и 1,5 м.
Аналогичным образом для случая 3 вам необходимо сделать только заявление о том, что в этом конкретном случае гипотеза не будет отклонена при 5-процентном уровне значимости. Отсюда автоматически следует, что она не будет отклонена и при однопроцентном уровне. А дополнение к этому заявлению имело бы тот же эффект, как если бы к заявлению о том, что прыгун в высоту не может взять высоты в 1 и 1,5 м, было добавлено утверждение о его неспособности взять высоту в 2 м.
Лишь в случае 2 необходимо (и желательно) представить результаты обеих проверок.
Общий случай
Решение
Пример зависимости общей инфляции и инфляции, вызванной ростом зарплаты
Отклонение Н0 при уровне значимости 1\%, а также и при 5\%
Po + UrO\%)xcc,
1,29
Отклонение Н0 при уровне значимости 5\%, но не при уровне значимости 1\%
Po + W5\%)xc.o.
1.21
При уровне значимости 5\% (или при 1\%) гипотеза Н0 не отвергается
1,00
Po-W<5\%)*c.o.
Отклонение Н0 при уровне значимости 5\%, но не при уровне значимости 1\%
0,79
0,71
Отклонение Н0 при уровне значимости 1\%, а также и при 5\%
Рис. 3.7. Представление результатов проверки гипотез по /-критерию (выводы, заключенные в скобках, представлять не требуется)
Заключительное замечание относительно представления результатов оценивания регрессии состоит в том, что в некоторых работах в скобках под коэффициентом вместо стандартной ошибки приводится /-статистика. Вы должны внимательно следить за этим, и, когда представляете результаты, это должно быть сделано предельно понятно.
Упражнения
Приведите еще несколько примеров для повседневно встречающихся случаев, когда при принятии решений могут возникнуть ошибки I и II рода.
Перед началом курса обучения 36 студентов были подвергнуты тесту на проверку способностей. Результаты теста и курса обучения (по типу «прошел»/ «не прошел») представлены в таблице на с. 101.
Как вы думаете, полезен ли тест на проверку способностей для принятия на курс, и если это так, то как бы вы определили проходной балл? (Рассмотрите вариант компромисса между ошибками I и II рода, связанными с выбором проходного балла.)
Стандартная ошибка коэффициента при t в упражнении 2.1 составила 0,08. Проверьте нулевую гипотезу о том, что истинное значение коэффициента равно нулю:
при 5-процентном уровне значимости;
при однопроцентном уровне значимости.
3.10. В упражнении 3.9 следует представить только результат проверки при
однопроцентном уровне значимости. Почему?
| Студент | Балл на тестировании | Результат обучения | Студент | Балл на тестировании | Результат обучения |
| 1 | 30 | не прошел | 19 | 51 | не прошел |
| 2 | 29 | прошел | 20 | 45 | не прошел |
| 3 | 33 | не прошел | 21 | 22 | не прошел |
| 4 | 62 | прошел | 22 | 30 | прошел |
| 5 | 59 | не прошел | 23 | 40 | не прошел |
| 6 | 63 | прошел | 24 | 26 | не прошел |
| 7 | 80 | прошел | 25 | 9 | не прошел |
| 8 | 32 | не прошел | 26 | 36 | прошел |
| 9 | 60 | прошел | 27 | 61 | прошел |
| 10 | 76 | прошел | 28 | 79 | не прошел |
| 11 | 13 | не прошел | 29 | 57 | не прошел |
| 12 | 41 | прошел | 30 | 46 | прошел |
| 13 | 26 | не прошел | 31 | 70 | не прошел |
| 14 | 43 | прошел | 32 | 31 | прошел |
| 15 | 43 | не прошел | 33 | 68 | прошел |
| 16 | 68 | прошел | 34 | 62 | прошел |
| 17 | 63 | прошел | 35 | 56 | прошел |
| 18 | 42 | не прошел | 36 | 36 | прошел |
3.11. Предположим, что вы проверили нулевую гипотезу при обоих уровнях значимости в 5\% и в 1\%. При каких условиях вы представите:
только результат проверки при однопроцентном уровне;
только результат проверки при 5-процентном уровне;
результаты при обоих уровнях значимости?
3.12. Уравнения регрессии между расходами на коммунальные услуги и (1)
располагаемым личным доходом и (2) временем в упражнении 2.2 имеют вид
(стандартные ошибки указаны в скобках):
9 = ~27,6 + 0,178х; j> = 48,9 + 4,84*.
(3,4) (0,004) (1,5) (0,10)
Выполните /-тест для проверки значимости коэффициентов там, где это необходимо. Четко сформулируйте проверяемые нулевые гипотезы и их альтернативы. Кроме того, объясните, почему вы формулируете сначала нулевые гипотезы.
3.13. Выполните аналогичные /-тесты для проверки коэффициентов регрессий, оцененных вами в упражнениях 2.4 и 2.5, четко формулируя нулевые и альтернативные гипотезы.
3.14. Предположим, что по принятой гипотезе 10\% предельного дохода расходуется на питание. Проверьте эту гипотезу, используя результат оценивания регрессии, представленной в уравнении (3.45).
Обсуждение Введение в эконометрику
Комментарии, рецензии и отзывы