3.8. доверительные интервалы

3.8. доверительные интервалы

До сих пор мы предполагали, что гипотеза предшествует эмпирическим исследованиям. Однако это необязательно. Очень часто гипотеза и эксперимент взаимодействуют, в этом отношении типичным примером является регрессия расходов на питание. Вначале мы оцениваем регрессию, потому что в соответствии с экономической теорией ожидаем, что размер дохода влияет на уровень расходов на питание. Результат оценивания регрессии подтвердил это интуитивное ожидание в том смысле, что мы отвергли нулевую гипотезу р = 0. Но после этого возникло ощущение некоторой пустоты, поскольку на основе этой гипотезы нельзя выдвинуть предположения о том, что значение р равняется некоторому конкретному числу. Теперь, однако, мы можем двинуться в противоположном направлении и задаться вопросом о том, какие гипотезы совместимы с результатом оценивания регрессии.

Вполне очевидно, что гипотеза о том, что р = 0,093, будет совместимой, так как гипотеза и результаты эксперимента совпадают. Кроме того, совместимыми будут и гипотезы о том, что р = 0,09229 и р = 0,09301, так как разница между гипотезой и результатом эксперимента будет небольшой. Вопрос состоит в том, насколько сильно гипотетическое значение может отличаться от результата эксперимента, прежде чем они станут несовместимыми и мы должны будем отклонить нулевую гипотезу.

Можно ответить на этот вопрос, используя предшествующие рассуждения. Из уравнения (3.44) видно, что коэффициент регрессии b и гипотетическое значение р будут несовместимыми, если выполняются условия:

б-р б-р

^ф^^рит или ^^"W (3.49)

т. е. если

^крит ИЛИ Ь — Р< С. О. (Ь) X tKpum, (3.50)

что соответствует

Ь-с.о.ф)хгкрит > р или b + c.o.(b)xtKpum <р. (3.51)

Отсюда следует, что гипотетическое значение р является совместимым с результатом оценивания регрессии, если одновременно выполнены условия:

Ь-с.о.ф)хгкрит<$ и $<b + c.o.(b)xtKpum, (3.52)

т. е. если величина р удовлетворяет двойному неравенству:

b с.о.ф) х tKpum < р < b + с.о.ф) х гкрит. (3.53)

Любое гипотетическое значение р, которое удовлетворяет соотношению (3.53), будет автоматически совместимо с оценкой А, иными словами, не будет опровергаться ею. Множество всех этих значений, определенных как интервал между нижней и верхней границами неравенства, известно как доверительный интервал для величины р.

Отметим, что посредине доверительного интервала лежит сама величина Ь. Границы интервала одинаково отстоят от Ь. Отметим также, что, так как значение t т зависит от выбора уровня значимости, границы будут также зависеть от этого выбора. Если принимается 5-процентный уровень значимости, то соответствующим доверительным интервалом считается 95-процентный интервал. Если выбирается однопроцентный уровень, то получают доверительный интервал в 99\% и т.д.

Так как t т будет больше для однопроцентного уровня, чем для 5-процентного (при любом данном числе степеней свободы), то, следовательно, интервал в 99\% будет шире интервала в 95\%. Так как посредине обоих интервалов лежит величина А, то интервал в 99\% включает все гипотетические значения р в 95-процентном доверительном интервале, а также дополнительные промежутки с той и другой стороны.

Пример

При оценивании регрессии между расходами на питание и доходом величина b составила 0,093, ее стандартная ошибка 0,003, a t т при 5-процентном уровне значимости 2,069. Отсюда соответствующий 95-процентный доверительный интервал составляет:

0,093 0,003 х 2,069 < р < 0,093 + 0,003 х 2,069, (3.54)

иными словами,

0,087 < р < 0,099. (3.55)

Поэтому мы отвергаем гипотетические значения только свыше 0,099 и ниже 0,087. Любые гипотезы, не выходящие за рамки этих пределов, не будут опровергаться полученным результатом оценивания регрессии.

Упражнения

Вычислите 99-процентный доверительный интервал для р в предыдущем упражнении и объясните, почему некоторые значения не были включены в 95-процентный доверительный интервал.

Вычислите 95-процентный доверительный интервал для р в примере с зависимостью между общей инфляцией и инфляцией, вызванной ростом заработной платы. Какой вывод вы можете сделать из этого вычисления?

Вычислите 95и 99-процентные доверительные интервалы для коэффициента наклона в уравнении регрессии между расходами на коммунальные услуги и располагаемым личным доходом, представленной в упражнении 3.12.

3.18. Вычислите 95и 99-процентные доверительные интервалы для коэффициента наклона в регрессии, оцененной в упражнении 2.4.

Вторая интерпретация доверительного интервала

Когда вы строите доверительный интервал, числа, которые вы определяете в качестве его верхнего и нижнего пределов, содержат случайные составляющие, которые зависят от значений случайного члена в наблюдениях выборки. Например, неравенство (3.53) включает верхний предел:

b + с. о. (Ь) х /

^ ' крит

Как Ь, так и с. о. (Ь) частично определяются значениями случайного члена, то же происходит и с нижним пределом. Мы надеемся, что доверительный интервал будет включать истинное значение параметра, но иногда он будет настолько искажен случайными факторами, что это будет не так.

Какова же вероятность того, что доверительный интервал будет включать истинное значение параметра? Легко показать, используя элементарную теорию вероятностей, что в случае 95-процентного доверительного интервала данная вероятность составит 95\%, если модель правильно определена и условия Гаусса—Маркова выполняются. Аналогичным образом в случае 99-процентного доверительного интервала данная вероятность будет 99\%.

Оцененный коэффициент [например, b в неравенстве (3.53)] обеспечивает точечную оценку рассматриваемого параметра, но при этом вероятность того, что истинное значение будет в точности равно этой оценке, ничтожно мала. Доверительный интервал дает так называемую «интервальную оценку» параметра, т. е. диапазон значений, который будет включать истинное значение с высокой, заранее определенной вероятностью — 95\% в случае 95-процентного и 99\% в случае 99-процентного доверительного интервала. Именно эта интерпретация и дает название доверительному интервалу (более подробно этот вопрос рассматривается в работе Т. Уоннакотта и Р. Уонна-котта [Wonnacott, Wonnacott, 1985, глава 8]).