4.3. случайный член

4.3. случайный член

До сих пор ничего не было сказано о том, как осуществленные преобразования влияют на случайный член. В приведенных выше рассуждениях все это вышло за рамки рассмотрения.

Основное требование здесь состоит в том, чтобы случайный член в преобразованном уравнении присутствовал в виде слагаемого (+и) и удовлетворял условиям Гаусса—Маркова. В противном случае коэффициенты регрессии, полученные по методу наименьших квадратов, не будут обладать обычными свойствами и проводимые для них тесты окажутся недостоверными.

Например, желательно, если мы учитываем случайное воздействие, чтобы уравнение (4.7) имело следующий вид:

y = a + $z + u. (4.22)

Если это так, то исходное (т. е. непреобразованное) уравнение (4.3) будет иметь вид:

у = а + + и. (4.23)

В данном конкретном случае, если в исходном уравнении случайный член является аддитивным и условия Гаусса—Маркова выполнены, то это также будет верно для преобразованного уравнения. В этом случае проблем нет.

Что произойдет, если мы используем модель вида (4.4)? Регрессионная модель после приведения к линейному виду путем логарифмирования будет представлять собой уравнение (4.13), и оно должно будет также включать случайный член возмущения, который является аддитивным и удовлетворяет условиям Гаусса—Маркова:

>''=ос'+рг + и. (4.24)

Если вернуться к исходному уравнению, это означает, что формулу (4.4) следует переписать в следующем виде:

у = oofiv, (4.25)

где v и и связаны соотношением log v = и. Следует помнить, что мы приводим уравнение (4.25) к линейному виду путем логарифмирования его обеих частей. В этом случае мы получаем соотношение:

ogy= log a + piogx + logv, (4.26)

которое представляет собой уравнение (4.24) с соответствующими изменениями определений.

Следовательно, для получения аддитивного случайного члена в уравнении регрессии мы должны начать с мультипликативного случайного члена в исходном уравнении.

Случайный член v изменяет выражение осхР путем увеличения или уменьшения его в случайной пропорции, а не на случайную величину. Заметим, что и = 0, если log v = 0, что происходит при v = 1. Случайная составляющая в оцениваемом уравнении (4.24) будет равна нулю, если v= 1. Это имеет смысл, так как если v = 1, то оно никак не изменяет значение cofi.

Для того чтобы были применимы tи /^критерии, величина и должна иметь нормальное распределение. Это означает, что log v должен иметь нормальное распределение, что возможно только при логарифмически нормальном распределении v. Что произошло бы, если предположить, что случайный член в исходном уравнении является аддитивным, а не мультипликативным?

у = oofi ■+■ и. (4.27)

Ответ таков, что, когда вы берете логарифм, невозможно математическим путем упростить выражение log (otxP+ w). Наше преобразование не ведет к линеаризации. В этом случае следует использовать метод оценивания нелинейной регрессии, например метод, рассмотренный в разделе 4.5.

Упражнения

Логарифмические регрессии между (1) расходами на продукты питания или (2) на оплату жилья и личным располагаемым доходом имели следующий вид (в скобках приведены среднеквадратичные ошибки):

log у = 1,20 + 0,55 log х; Я2 = 0,98; (1) (0,И) (0,02)

log у =-3,48 + 1,23 log х; R2 = 0,99. (2) (0,16) (0,02)

Выполните соответствующие статистические тесты и определите 95-процентный доверительный интервал для эластичности по доходу в каждом случае.

Выполните соответствующие статистические тесты для логарифмической кривой Энгеля, построенной вами в упражнении 4.2. Определите 95-процентный доверительный интервал для эластичности по доходу.