6.7. лаговые переменные1

6.7. лаговые переменные1

До сих пор мы считали, что на текущее значение зависимой переменной влияют только текущие значения объясняющих переменных. Такое предположение делается, когда мы пользуемся перекрестными данными (статистическими данными, относящимися к различным отраслям экономики, к различным фирмам и т. д.), где выборка берется из совокупности индивидов, фирм, стран и т. п. в соответствии с теми или иными условиями на какой-то один момент времени. Однако при пользовании данными временного ряда мы можем ослабить это условие и исследовать, в какой степени запаздывает рассматриваемое влияние. Технически это известно как лаговая структура зависимости (структура с запаздыванием).

Например, если нас интересует исследование соотношения между расходами на жилье (у), располагаемым личным доходом (х), и индексом реальных цен на жилье (р) и если мы допустим, что логарифмическая регрессия является более подходящей, чем линейная, то мы можем построить регрессию:

log yt = а + (3,log х, + P2log pt + ur (6.42)

индекс / добавлен здесь к переменным для того, чтобы показать, что мы связываем текущие расходы на жилье с текущим доходом. Воспользовавшись данными за 1959—1983 гг. из табл. Б.1 и Б.2 приложения, мы получим:

1о£ у = -1,60 + 1,18 log х, -0,34 log />,; R2 = 0,992. (6.43) (со.) (1,75) (0,05) (0,31)

В соответствии с данной регрессией расходы на жилье имеют положительную эластичность по доходам, близкую к единице, и отрицательную эластичность по цене, что и следовало ожидать.

1 Лаговая переменная — это переменная, влияние которой характеризуется некоторым запаздыванием. {Прим. ред.)

Другой исследователь может предположить, что люди более склонны соотносить свои расходы на жилье не с текущими доходами и ценами, а с предшествующими, например с прошлогодними доходом и ценами, которые мы обозначим х^х и р^х соответственно:

log у, = а + p,log x,., + p2log /v., + ur (6.44)

Можно утверждать, что расходы на жилье подвержены инерции и медленно согласуются с изменениями доходов и цен. В табл. 6.9 приведены данные пох, и pt за рассматриваемый период. Для того чтобы получить данные для х^, и р^19 нужно просто сдвинуть данные для х, и pt на один уровень ниже в таблице.

В 1980 г. доход составлял 1021,6. По отношению к 1981 г. эта сумма становится прошлогодним доходом, то есть х^,. То же происходит и по отношению к другим годам. Точно так же индекс цен в 1980 г. равнялся 93,0, а в 1981 г. он становится значением/?^! и т. д. Мы сталкиваемся с проблемой наблюдения величин х^, иPj_x применительно к 1959 г. Они равны величинам х, и pt 1958 г., которых нет в табл. Б.1 и Б.2. Мы должны либо отдельно найти значения этих величин, либо ограничить период выборки 1960—1983 гг. Здесь мы выбрали первый способ действий.

Оценив регрессионную зависимость log yt от log Xj_x и log Pj_x, получим:

logy,= 0,42 + UOlogx^-O^log/^,; #=0,995. (6.45) (со.) (1,74) (0,05) (0,31)

Первоначальной является регрессия между logy и текущими величинами logx и log р, второй — регрессия между log у и величинами log х и log />, взятыми с запаздыванием на один период.

Естественно, что ничто не может помешать вам оценить регрессию между log у и величинами log х и log р, взятыми с запаздыванием на два периода. Величина Xj_2 в 1982 г. — та же, что х, в 1980 г., и т. д. Данные для х^2 и р^2 показаны в пятой и восьмой колонках табл. 6.9. Оценив регрессионную зависимость log yt от log х,_2 и log /7^2, получим:

log у, = 0,95 + 1,08 log х,_2~ 0,72 log/^_2; #=0,995; (6.46) (со.) (1,77) (0,05) (0,31)

В общем, если какая-то переменная появляется в модели с запаздыванием на s периодов, то она записывается с нижним индексом (ґ — s). Как мы увидим в главе 10, одна и та же переменная может в данном уравнении появляться несколько раз с разными запаздываниями. Например, при анализе функции спроса на жилье было бы разумным выдвинуть гипотезу, что текущий доход, прошлогодний доход и, возможно, доход за несколько предыдущих лет, вместе взятые, влияют на текущие расходы на жилье. Спецификация запаздываний применительно к переменным в модели называется лаговой структурой (структурой с запаздыванием); она может являться важным аспектом модели и выступать в качестве спецификации самих переменных. Мы встретимся с одной специальной лаговой структурой при рассмотрении автокорреляции в следующей главе. Расширенный анализ этой проблемы будет дан в главе 10.

Источники: Таблицы Б.1 и Б.2 дают индексы реальных цен, вычисляемых путем деления дефлятора цен на жилье на дефлятор всех расходов и умножения результатов на 100. Данные по лаговым переменным в 1959 и 1960 гг. были взяты непосредственно из журнала «Survey of Current Business*.

Упражнение

6.19. Постройте логарифмическую регрессию между расходами на выбранный вами товар и доходами (с запаздыванием на один год) или относительной ценой (с запаздыванием на один год). Заметьте, что для этого вам придется укоротить период выборки до 1960—1983 гг. Постройте такую же регрессию без запаздываний на этот же период и сравните результаты.