Имеет ли в действительности значение гетероскедастичность?

Имеет ли в действительности значение гетероскедастичность?

Ответ на этот вопрос зависит от степени варьирования наблюдаемых значений объясняющих переменных (предполагается, что их разброс является ориентиром для определения величины стандартных ошибок случайного члена). Некоторые вычисления, выполненные Р. Гири (Geary, 1966), показывают, что если стандартное отклонение случайного члена пропорционально значениям объясняющей переменной в парной регрессии, то дисперсия оценки коэффициента наклона может быть в три раза больше при использовании обычного МНК по сравнению с тем случаем, когда делается поправка на гетероскедастичность.

Упражнения

7.3. Установив факт наличия гетероскедастичности, исследователь в упражнении 7.1 перешел к оцениванию следующих зависимостей:

•тг = 0,32 39,4 Z; Л* = 0,03; (со.) (0,03) (56,9)

log М = -1,66 + 1,05 log G; Л2 = 0,84, (со.) (0,92) (0,12)

где Z является обратной величиной от G (логарифмы берутся по основанию е).

Почему проблема гетероскедастичности может в этих уравнениях стать менее существенной?

Сравните полученные результаты для этих уравнений и для уравнения в упражнении 7.1.

7.4. Студенту (назовем его А) дали 20 наблюдений двух переменных — у их.

Ему сообщили, что у линейно зависит от х и случайного члена ы, и попросили

получить оценку коэффициента прих. Истинная зависимость, неизвестная студенту, имеет вид:

у= 100+ 10x + tf.

Используя обычный МНК, студент оценивает уравнение регрессии у = a + bx, получая (в скобках указаны стандартные ошибки):

£=92,0 + 11,4х; R2 = 0,87. (1) (12,2) (1,0)

Затем студенту сообщают, что случайный член ut в /-м наблюдении получен путем умножения случайного числа є; на значение х в этом наблюдении, то есть ut= где є, получено из нормального распределения с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Студент определяет новые переменные у' и х', где у'-у/х, х' = 1/х, и оценивает уравнение у'= с + dx получая:

у'= 10,2 + 101,7 х'; Л2 = 0,99. (2) (со.) (0,7) (2,3)

Объясните, почему студенты оценили регрессию (2), когда им стал известен характер поведения случайного члена и.

Являются ли результаты, полученные для регрессии (2), лучшими, чем результаты, полученные для регрессии (1)?

7.5. Двум молодым исследователям поручено получить оценки (х! их2) математического ожидания д случайной переменной х. Из прошлого опыта нам известно, что оба они получат несмещенные оценки. Однако один из них менее аккуратен, чем другой, и дисперсия х2 будет в три раза больше, чем дисперсия х{. Вы должны, используя результаты работы двух исследователей, представить единый результат. Возьмете ли вы среднее от X! и х2, полностью проигнорируете х2 или поступите как-нибудь иначе?

Девять других студентов (В, С, J) выполняют такие же эксперименты с наблюдениями переменной >>, полученными тем же способом и при таких же значениях х, но с другими наборами случайных чисел для є. Полученные результаты обобщены в таблице.

7.5. Автокорреляция и связанные с ней факторы

До сих пор предполагалось, что значение случайного члена и в любом наблюдении определяется независимо от его значений во всех других наблюдениях. Другими словами, мы предполагали, что удовлетворено третье условие Гаусса—Маркова, то есть pop. cov (Up и) = 0 при / ф у1.

Последствия автокорреляции в некоторой степени сходны с последствиями гетероскедастичности. Коэффициенты регрессии остаются несмещенными, но становятся неэффективными, и их стандартные ошибки оцениваются неправильно (вероятно, они смещаются вниз, т. е. занижаются).

Возможные причины автокорреляции

Автокорреляция обычно встречается только в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов. Случайный член и в уравнении регрессии подвергается воздействию тех переменных, влияющих на зависимую переменную, которые не включены в уравнение регрессии. Если значение и в любом наблюдении должно быть независимым от его значения в предыдущем наблюдении, то и значение любой переменной, «скрытой» в и, должно быть некоррелированным с ее значением в предыдущем наблюдении.

Постоянная направленность воздействия не включенных в уравнение переменных является наиболее частой причиной положительной автокорреляции — ее обычного для экономического анализа типа. Предположим, что вы оцениваете уравнение спроса на мороженое по ежемесячным данным и что состояние погоды является единственным важным фактором, «скрытым» в и. Вероятно, у вас будет несколько последовательных наблюдений, когда теплая погода способствует увеличению спроса на мороженое и, таким образом, и положительно, и после этого — несколько последовательных наблюдений, когда ситуация складывается противоположным образом, после чего идет еще один ряд теплых месяцев и т. д.

Если доход постоянно возрастает со временем, схема наблюдений может быть такой, как показано на рис. 7.3. При обозначении объема продаж мороженого через^ и дохода через х будет иметь место трендовая зависимость, отражающая рост объема продаж: у = а + рх. Фактические наблюдения будут в основном сначала находиться выше линии регрессии, затем ниже ее и затем опять выше.

Изменения экономической конъюнктуры часто приводят к похожим результатам, особенно наглядным в макроэкономическом анализе, и в литературе о циклах деловой активности есть много таких примеров.

1 Так как мы предполагаем, что Е(и) = Е(и} = 0, это условие может быть также записано как E(uf, Uj) = 0. Когда данное условие не выполняется, говорят, что случайный член подвержен автокорреляции, которую часто называют сериальной корреляцией(эти два термина взаимозаменяемы).

Здесь важно отметить, в частности, что автокорреляция в целом представляет тем более существенную проблему, чем меньше интервал между наблюдениями. Очевидно, что чем больше этот интервал, тем менее правдоподобно, что при переходе от одного наблюдения к другому характер влияния неучтенных переменных будет сохраняться.

Объем продаж мороженого

Лето

-' Зима

Лето * ^ .

.Зима

Доход, X

Рис. 7.3. Положительная автокорреляция

Если в примере с мороженым наблюдения проводятся не ежемесячно, а ежегодно, то автокорреляции, вероятно, вообще не будет. Мало вероятно, чтобы совокупное влияние погодных условий в одном году коррелировало с аналогичным влиянием в следующем году.

Пока мы рассматривали только положительную автокорреляцию. В принципе автокорреляция может также быть отрицательной. В нашем случае это означает, что корреляция между последовательными значениями случайного члена отрицательна. В этом случае, скорее всего, за положительным значением в одном наблюдении идет отрицательное значение в следующем, и наоборот; диаграмма рассеяния при этом выглядит так, как показано на рис. 7.4.

х

В экономике отрицательная автокорреляция встречается относительно редко. Но иногда она появляется при преобразовании первоначальной спецификации модели в форму, подходящую для регрессионного анализа. Мы встретим такой пример в разделе 10.2.

При рассмотрении автокорреляции мы будем предполагать, что имеем дело с данными временного ряда, и поэтому станем ссылаться на наблюдение а не / и обозначать размер выборки через Г вместо п. Таким образом, базовая модель будет записана в виде:

у, = а + $х, + иг (7.20)