7.9. автокорреляция как следствие неправильной спецификации модели

7.9. автокорреляция как следствие неправильной спецификации модели

Автокорреляция в модели регрессии формально вызывается зависимостью между значениями случайного члена в выборке. Но этот вопрос можно рассмотреть и более глубоко. Причиной наличия случайного члена может быть какая-либо неточность в спецификации модели, например пропуск какой-либо важной объясняющей переменной или использование неподходящей математической функции (см. раздел 2.1). Следовательно, автокорреляция нередко может объясняться неправильной спецификацией модели; в этом случае, по-видимому, лучше вместо использования механической процедуры «исправления» непосредственно попытаться устранить ошибки в спецификации. Конечно, обычно лучше устранять причину, чем симптом.

Автокорреляция, вызванная неправильной спецификацией переменных

Явная автокорреляция может быть вызвана пропуском важной объясняющей переменной, и положение можно исправить, если эта переменная будет определена и включена. (Пример дан в упражнении 10.4.) Другая ее причина может заключаться в том, что не принята во внимание структура модели, включающая запаздывание. Метод Кокрана—Оркатта является эффективным способом отражения структуры запаздывания в модели, которая ранее была статической. Возможно, будет признана предпочтительной более общая спецификация. Мы видели, что при наличии автокорреляции в модели (7.21) ее можно устранить в случае парной регрессии путем преобразования модели к виду (7.27). Это можно переписать таким образом:

У, = «(1 ~ Р) + РУг-і + Р*,ррх,_, + є,

(7.34)

Фактически мы оцениваем регрессионную зависимость yt от j;,^, xt и х,_15 налагая ограничение, заключающееся в требовании равенства коэффициента при произведению коэффициентов при других двух переменных в правой части уравнения. Так как уравнение является нелинейным по параметрам, мы не можем для его оценивания использовать МНК. Вместо этого мы применяем метод Кокрана—Оркатта или какой-либо другой подобный ему метод оценивания, в сущности, нелинейной регрессии.

В целом мы не имеем права заранее утверждать, что указанное ограничение обосновано. Кроме того, мы должны проверять все ограничения, где это возможно, и в данном случае сделать это несложно. Мы вводим другую, не включающую ограничения модель:

у, = К + + V/+ +є/

(7.35)

и проверяем, равно ли Х3 величине — ^,^2. Если это ограничение не отклонено, мы принимаем предположение, что моделе адекватно представлена выражениями (7.20) и (7.21), и продолжаем оценивать ее параметры, используя метод Кокрана—Оркатта или другой подобный ему метод. Если ограничение отклонено, то непосредственно оценивается регрессия (7.35) с использованием обычного МНК.

Следует отметить, что если лучшей спецификацией модели окажется (7.35), то из этого следует, что мы отказываемся от гипотезы, что случайный член формируется авторегрессионным процессом (7.21) и тест Дарбина—Уотсона перестает быть применимым при оценивании регрессии (7.20). Тем не менее он может быть полезен в диагностических целях, и часто первым указанием на наличие какой-либо проблемы в исходной регрессии служит ^/-статистика, недостаточно близкая к двум.

Теоретические положения, обосновывающие рассматриваемую процедуру проверки, здесь не представлены (они кратко излагаются в работе Д. Хендри и Г. Майзона [Hendry, Mizon, 1978]). Для данного случая подходит тестовая статистика

Tog(RSSR/RSSa),

(7.36)

где RSSR и RSSy — необъясненные суммы квадратов отклонений соответственно в вариантах с ограничением и без ограничений; логарифмы вычисляются по основанию е и Т — количество наблюдений в выборке. В больших выборках статистика, лежащая в основе критерия, имеет распределение у} с числом степеней свободы, равным количеству налагаемых ограничений.

Может возникнуть вопрос о количестве налагаемых ограничений. До сих пор анализировалась исходная модель с одной объясняющей переменной. В этом случае ограничение было только одно: Х3 равно — \{2. При наличии к объясняющих переменных количество ограничений также было бы равно к. Если исходная модель имеет вид:

j;, = cc + P1x1,+ ...+PAx,, + W,

(7.37)

где ut формируется на основе соотношения (7.20), то преобразованная модель будет представлена выражением:

у, = а (1 р) + pj>,_, + Р, (х„ рх„_,) + ... + р* (xkt рхА,_,) + є„ (7.38)

и, таким образом, каждой объясняющей переменной соответствует ограничение, состоящее в том, что коэффициент при лаговом значении объясняющей переменной должен равняться произведению со знаком «минус» коэффициента при текущем значении этой переменной и коэффициента при yt_v

Пример

Преобразованная по методу Кокрана—Оркатта логарифмическая регрессия между расходами на жилье, располагаемым личным доходом и относительной ценой имеет следующий вид (в скобках приведены стандартные ошибки):

log yt = 4,47 + 0,40 log х, 0,26 log/>,; (7.39) (1,05) (0,11) (0,14)

R2 = 0,9994; RSS= 0,0014; p = 0,98; d= 1,93.

Результаты оценивания регрессии (7.34) по МНК без учета ограничений могут быть представлены в виде:

log у, = 0,73 + 0,87 log у,_х + 0,22 log х, -(со.) (0,48) (0,06) (0,09)

0,11 logx,_j 0,19 logpt+ 0,01 logpt_{ (7.40) (0,11) (0,14) (0,17)

R2 = 0,9997; RSS= 0,0008; d= 2,27; h = -0,67.

Рассмотрим это уравнение, прежде чем применить тест на общий фактор. Мы получаем оценку р из коэффициента при log yt_v Верно ли, что коэффициент при log xt_x приблизительно равен умноженному на —0,87 коэффициенту при log xt и что коэффициент при log рх_{ приблизительно равен умноженному на -0,87 коэффициенту при log /?,? Очевидно, нет, по меньшей мере на первый взгляд. Статистика, лежащая в основе критерия, рассчитывается как 24 log(0,0014/0,0008), что равняется 13,4. Критическое значение у} с двумя степенями свободы при уровне значимости в 1\% составляет 9,2 (см. табл. А.4). Следовательно, ограничение подлежит обоснованному отклонению (но при этом не нужно забывать, что данный тест следует использовать только для больших выборок). Еще одно свидетельство в пользу уравнения (7.40) обеспечивается тем, что А-тест показывает отсутствие статистически значимой автокорреляции.

Если мы выполним г-тест применительно к коэффициентам уравнения без ограничений, то увидим, что только одна лаговая переменная (log >>,_,) имеет значимый коэффициент. Это означает, что мы можем опустить два других лаго-вых члена. Если мы сделаем это и повторно оценим регрессию (снова используя обычный МНК), то получим:

1о&у= 0,49 + 0,85 ogyt_x + 0,15 log*,-0,161og/>,; (7.41)

(со.) (0,38) (0,04) (0,05) (0,07)

R2 = 0,9996; RSS= 0,0008; d= 1,94; h = 0,16.

Здесь нет статистически значимой автокорреляции. Вывод: Ярко выраженная автокорреляция в первоначальной регрессии между расходами на жилье, доходом и ценой фактически объясняется пропуском лаговой зависимой переменной.

Резюме

В связи с проведенным анализом следует отметить, что если при оценивании регрессии мы получаем ^-статистику, которая явно указывает на автокорреляцию, то в первую очередь следует выполнить общий факторный тест, используя как преобразование по методу Кокрана—Оркатта, так и вариант без ограничений. Если ограничение не отклоняется, следует придерживаться результата, полученного по методу Кокрана—Оркатта. Если оно отклоняется, следует сосредоточиться на варианте без ограничений и попробовать внести новые усовершенствования. Например, не всегда необходимо сохранять все лаговые переменные.

Автокорреляция, вызываемая ошибочной функциональной спецификацией

Автокорреляция остатков в регрессии может иметь место при ошибочной функциональной спецификации уравнения регрессии. Например, в разделе 4.1 мы видели, что если истинная модель имеет вид:

y = a + ^ + w, (7.42)

и мы оцениваем линейную регрессию, то получается результат, представленный на рис. 4.1 и в табл. 4.2: отрицательный остаток в первом наблюдении, положительные остатки в следующих шести и отрицательные остатки в последних трех. Другими словами, обнаруживается очень сильная положительная автокорреляция. Однако когда регрессия имеет форму

Ї = а+Ьх (7.43)

где jc'определяется как 1/лс, то не только достигается гораздо лучшее качество оценок, но и исчезает автокорреляция.

Самый прямой способ обнаружения автокорреляции, вызванной ошибочной функциональной спецификацией, заключается в непосредственном рассмотрении остатков. Это может дать определенное представление о правильной спецификации, ^/-статистика Дарбина—Уотсона также может сигнализировать об ошибочной функциональной спецификации, хотя, конечно, выполненная на ее основе проверка была бы необоснованной, так как случайный член не соответствует процессу, описанному формулой (7.21), и использование метода типа Кокрана—Оркатта было бы нецелесообразным. В описанном выше примере ^/-статистика Дарбина—Уотсона составляла 0,86, что указывает на наличие ошибки.

Упражнения

В упражнении 6.9 ^/-статистики для шести уравнений были следующими:

Город А (1) 1,18; (2) 1,42; (3) 1,98;

Город В (1) 2,28; (2) 0,76; (3) 2,13.

Рассмотрите поведение ^/-статистики в свете вашего ответа на задание, сформулированное в упражнении 6.9.

Функция спроса на продукты питания с преобразованием по методу Кокрана—-Оркатта имеет следующий вид (в скобках указаны стандартные ошибки):

log у, = 3,11 + 0,69 log х, 0,61 logр,; (0,55) (0,04) (0,14)

R2 = 0,9930; RSS= 0,0033; d = 1,93.

Вариант без ограничений выглядит следующим образом:

log у, = 0,94 + 0,54 log yt_x + 0,56 log xt -(со.) (0,59) (0,15) (0,17)

0,28 log xt_x 0,68 log/?, + 0,55 log/>,_,; (0,20) (0,13) (0,13)

R2 = 0,9949; RSS = 0,0024; d = 2,20.

Проанализируйте полученные значения коэффициентов в двух уравнениях и выполните общий факторный тест.

Предположим, что модель подвержена воздействию автокорреляции первого порядка и, следовательно, может быть представлена выражением (7.34). Почему при построении регрессионного уравнения не следует использовать МНК?

Приложение 7.1

Исследование, проведенное Р.Э. Парком и Б. Митчеллом на основе метода Монте-Карло

Почему в последнем предложении раздела 7.7 мы употребляем слово «вероятно», а не «определенно»? Причина этого заключается в том, что оценки, использующие преобразованное уравнение (7.27), будут иметь желательные для МНК свойства, только если в преобразовании используется истинное значение р (и если сохранено первое наблюдение). Если таким способом точно устранена автокорреляция, то полученная оценка является оценкой по обобщенному методу наименьших квадратов (ОМНК). Однако величину р мы должны были оценить. Это означает, что метод СО—PW будет работать определенно лучше, чем обычный МНК, только для больших выборок.

За последние годы усилия многих исследователей были направлены на поиск других способов оценки р и на исследование свойств преобразования по методу Кокрана—Оркатта и получаемых с его помощью вариантов моделей для малых выборок. Существенный вклад внесла статья Р.Э. Парка и Б. Митчелла (Park, Mitchell, 1980), обзор которой и приводится здесь, так как результаты, полученные авторами, имеют большое значение, а также по той причине, что она хорошо иллюстрирует возможность применения метода Монте-Карло для выявления свойств оценок в малых выборках.

Основой анализа, выполненного Р.Э. Парком и Б. Митчеллом, является модель парной регрессии (7.20) с коррелированными остатками, подчиняющимися авторегрессионному процессу первого порядка (7.21). Было принято, что как а, так и р в уравнении (7.20) равны единице. Для переменной х использовались три различных ряда данных (и эксперименты были повторены отдельно для каждого из них): простой временной тренд; фактические ежегодные данные о валовом национальном продукте США начиная с 1950 г.; фактические ежегодные данные о коэффициенте использования производственных мощностей (САР) в США также начиная с 1950 г. Случайный член є генерировался с использованием независимых нормально распределенных случайных чисел с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Для большинства экспериментов размер выборки равнялся 20, и каждый эксперимент был повторен для 1000 выборок.

Причина, по которой эксперимент проводился с тремя различными рядами данных для х, заключалась в том, что, как показали более ранние исследования, качество получаемых оценок зависит (в числе других факторов) от того, содержат ли данные временной тренд. Первый ряд допускает сравнение свойств оценок в экстремальном случае при наличии чистого тренда. Второй ряд, где рассматривается валовой национальный продукт (GNP), допускает сравнение в неэкстремальном случае, где объясняющая переменная имеет определенную тенденцию, часто встречающуюся в экономических данных. Что касается третьего ряда, то здесь допускается сравнение, когда объясняющая переменная вообще не имеет какого-либо тренда.

В каждом эксперименте Р.Э. Парк и Б. Митчелл вычислили среднеквадратичную ошибку оценок в 1000 выборках. Потом они определили относительную эффективность оценки как обратную величину отношения ее среднеквадратичной ошибки к соответствующей ошибке по обычному МНК для тех же рядов данных и значениях р. Результаты приводятся в табл. 7.6. Аббревиатурами СО и СО—PW обозначается метод Кокрана—Оркатта соответственно без поправки Прайса—Уинстена и с поправкой. В табл. 7.6 приводятся результаты для оценок коэффициента наклона в регрессии (7.20). Таблица включает результаты оценивания по обобщенному МНК, которые автоматически имеют наибольшую относительную эффективность, которая используется как критерий. Относительная эффективность устанавливает предел выигрыша, который может быть достигнут за счет замены обычного МНК другим методом оценивания.

Таблица 7.6

Эффективность методов OMHK , СО и СО— PW в сравнении с обычным МНК

0,4 0,8 0,9 0,98

Временной тренд

ОМНК 1,02 1,09 1,10 1,08

СО 0,85 0,69 0,56 0,64

СО—PW 1,01 1,07 1,08 1,05

GNP

ОМНК 1,02 1,14 1,20 1,26

СО 0,85 0,80 0,83 0,88

CO-PW 1,01 1,09 1,13 1,12

САР

ОМНК 1,14 1,86 2,21 2,52

СО 1,03 1,65 2,03 2,27

СО—PW 1,05 1,61 2,00 2,15

На основе табл. 7.6 можно сделать следующие выводы:

Выигрыш в эффективности, обеспечиваемый заменой обычного МНК на метод СО или СО—PW, может быть значительным при наличии неярко выраженного тренда и высоком значении р.

В условиях сильного тренда обычный МНК может быть не очень эффективным даже для высоких значений р. Наихудший результат МНК дает для показателя ВНП при значении р, близком к единице. В этом случае его эффективность на 26\% ниже по сравнению с обобщенным МНК. Разница в эффективности меньше для случая с другими рассматриваемыми оценками: здесь ее наибольшее значение равно 13\%. Другие исследования показали, что обычный МНК действительно более эффективен, чем любой другой метод, если данные подвержены сильному тренду и значение р мало. Следовательно, основной причиной, по которой в этих условиях не используется обычный МНК, является не недостаточно высокая эффективность, а смещение оценок стандартных ошибок — проблема, которая вскоре будет рассмотрена.

3. Использование метода Кокрана—Оркатта в чистом виде значительно менее эффективно, чем СО—PW, когда данные подвержены сильному тренду. В этом случае данный метод неэффективен даже в сравнении с обычным МНК. Когда же данные не подвержены тренду, СО работает так же, как и СО—PW.

Вывод: Следует всегда использовать СО—PW или какой-либо другой метод, позволяющий сохранить первое наблюдение.

Р.Э. Парк и Б. Митчелл рассмотрели также эффективность применения различных оценок при проверке гипотез, определяя, сколько раз в каждой совокупности из 1000 проб проверка по /-критерию при уровне значимости в 5\% приведет к отклонению верной гипотезы о том, что коэффициент наклона р в регрессии (7.20) равен единице, и к ошибке I рода. Следует помнить, что даже при идеальных условиях тест при уровне значимости в 5\% будет приводить к отклонению верной нулевой гипотезы в 5\% случаев и, таким образом, даже использование оценки ОМНК вызовет появление приблизительно 50 ошибок I рода.

Таблица 7.7

Количество ошибок I рода при проведении 1000 проб при уровне значимости в 5\%

0,4 0,8 0,9 0,98

Временной тренд

мнк 197 490 571 709

co-pw 131 285 336 474

GNP

мнк 185 449 596 666

co-pw 136 246 322 397

САР

мнк 143 294 323 322

co-pw 113 101 86 86

Р. Э. Парк и Д. Митчелл не приводят результатов оценивания для СО, потому что СО—PW оказывается более предпочтительным методом, имеющим более высокую эффективность. В табл. 7.7 прослеживается очень сильная тенденция к недооценке стандартных ошибок для обычного МНК, что приводит к появлению ошибок I рода. Эта таблица также показывает, что тот же недостаток может быть свойственен методу СО—PW, хотя здесь в этом отношении наблюдается улучшение. Особенно ярко эта проблема проявляется, когда данные подвержены сильному тренду и значение р высоко. Вывод: В этих условиях при проверке гипотез должны использоваться более высокие уровни значимости, чем обычно.

Р. Э. Парк и Д. Митчелл сравнили также качество различных оценок при более крупной выборке, увеличив число наблюдений до 50 в каждой серии (испытании). Они сообщают только о результатах использования рядов данных по ВНП в качестве объясняющей переменной (причем не ежегодных, а ежеквартальных данных). Основные выводы здесь следующие: СО—PW остается более предпочтительным по сравнению с СО; эффективность СО—PW по отношению к обычному МНК возрастает, особенно для высоких значений р; использование обычного МНК приводит к появлению ошибок I рода даже чаще, чем для меньших по объему выборок; при применении метода СО—PW ошибки I рода возникают реже, но этот метод может по-прежнему в значительной степени вводить в заблуждение при проверке гипотез.

Приложение 7.2

Автокорреляция более высокого порядка: обнаружение и оценивание

До сих пор мы рассматривали очень простой вид автокорреляции — авторегрессионный процесс первого порядка, описанный выражением (7.21). Причина этого в том, что он обычно рассматривается как приемлемый способ аппроксимации общего вида автокорреляции, и в большинстве регрессионных пакетов d-статистика вычисляется автоматически.

В некоторых пакетах в настоящее время также используется тест Томаса— Уоллиса (Thomas, Wallis, 1971) на автокорреляцию четвертого порядка, когда связь случайных членов описывается процессом AR(4):

и, = ри,_4 + є,. (7.44)

Автокорреляция такого типа может иметь место при использовании в качестве данных ежеквартальных наблюдений, и сезонные колебания переходят из года в год. Статистика, лежащая в основе данного теста, по своей структуре сходна с rf-статистикой Дарбина—Уотсона, но имеет другое распределение.

Вместе с тем встречаются случаи, когда целесообразно предположить общую зависимость более высокого порядка:

щ = р,*/,., + р2и,_2 + ... + psw,_s + є„ (7.45)

или когда случайные члены связываются не авторегрессионным процессом, а процессом скользящих средних, который может быть описан уравнением:

ut= ахг,+ а2є,_, + ...+ a£t_s,

(7.46)

или даже какой-либо комбинацией этих двух выражений.

Для обнаружения автокорреляции более высокого порядка разработано несколько тестов. Здесь будет представлен только один пример — тест с множителем Лагранжа, выбранный потому, что выполнять его относительно легко, даже когда это специально не предусматривается в регрессионном пакете. По этой причине возрастает популярность данного теста. Теория, обосновывающая его применение, не входит в круг вопросов, рассматриваемых в данной книге. Относительно простой обзор этой теории, выполненный ее авторами, содержится в работе Т. Бройша и Л. Годфри (Breusch, Godfrey, 1982).

Вначале следует решить, насколько глубоко вас интересует вопрос о порядке обнаруживаемой автокорреляции. Для процессов, представляемых выражениями (7.45) и (7.46), этот порядок обозначается с помощью нижнего индекса s. Затем вы обычным образом оцениваете регрессию с помощью МНК и «запоминаете» остатки. В конечном итоге вы оцениваете следующую регрессию:

ёг = со + cxet_x + с2е,_2 + ... + cset_s + dxxXt+dp2l + ... + d^, (7.47)

где et — остаток в наблюдении (/ — р) переменные х — объясняющие переменные первоначальной регрессии. Регрессия оценивается по данным для периодов от (s + 1) до Т, так как величины et_s не определены для первых s периодов. Затем для этой регрессии вычисляется (T*R2), и при нулевой гипотезе об отсутствии автокорреляции эта статистика имеет распределение у} с s степенями свободы.

Необходимо сделать два предупреждения. Во-первых, тест с множителем Лагранжа, как и альтернативные ему варианты, рассчитан на работу с большими выборками. Поэтому нужно проявлять осторожность при интерпретации результатов, полученных на малых выборках. Во-вторых, в отличие от теста Дарбина—Уотсона он обнаруживает не только авторегрессионную корреляцию остатков типа (7.21), но и автокорреляцию, описываемую скользящими средними (7.46). Здесь также необходима осторожность при толковании результатов.

Пример

Тест с множителем Лагранжа был применен по отношению к логарифмической функции спроса на продукты питания; полученные результаты представлены в уравнении (5.26), где значениям меняются от 1 до 4. Результаты обобщены в табл. 7.8, где показано, что нулевая гипотеза отклоняется по меньшей мере на уровне 5\% для всех значений s, но тестовая статистика увеличивается очень медленно для значений s, больших единицы, в предположении о том, что автокорреляция хорошо аппроксимируется процессом первого порядка. (Возможно, у вас вызывает удивление то, что коэффициент R2 в действительности уменьшается, когда в уравнение добавляется et_2; объясняется это изменением периода выборки. При 5= 1 период выборки охватывал 1960—1983 гг.; при 5 = 2 период выборки включал 1961—1983 гг. Следовательно, здесь не действует обычное правило, согласно которому коэффициент Л2 не может уменьшаться при добавлении к уравнению новых переменных.)

Оценивание регрессии с автокорреляцией более высокого уровня

Предположим, что мы обнаружили автокорреляцию более высокого порядка. Как в этом случае оценить регрессию? Если у нас есть причины предполагать, что автокорреляция представляет собой авторегрессионный процесс типа (7.45), то можно использовать обобщенный вариант оценки по методу Кокрана—Оркатта. Предположим, что у нас имеется модель парной регрессии (7.20). Если определить

Уі=Уі~ РіУі-і ■ • • Psyt-s> (7-48)

xt =*/ -Pi*/-i ...-p,x,_5; С7-49)

5 = a(l-Pl-...-Pj), (7.50)

то можно легко показать, что

5?; =5 + рЗс/+Є; (/ = .s + l,...,Г). (7.51)

Таблица 7.8

Если бы мы знали величину р, то по данным наблюдений у и х можно было бы рассчитать у и Зс и оценить данное уравнение, устранив проблему автокорреляции. Вообще говоря, мы не знаем величины р, и ее приходится оценивать наряду сайр. Обобщенный вариант оценки по методу Кокрана—Оркатта следует той же схеме, что и первоначальный, в том смысле, что сначала оценивается уравнение регрессии с помощью обычного МНК, а затем оценивается регрессия (7.45) с заменой случайных членов на рассчитанные остатки. Далее вычисляются у и х и оценивается регрессия (7.51), дающая пересмотренные оценки аир. Получив новую совокупность остатков, вновь оцениваем уравнение (7.45) и т. д. до тех пор, пока не будет достигнута сходимость процесса.

Здесь нужно сделать такое же предостережение, как и в случае авторегрессии первого порядка. Так как требуется оценить р, обобщенная оценка по методу Кокрана—Оркатта будет иметь требуемые свойства только на больших

выборках. Имеется также проблема относительно применения поправки Прайса—Уинстена, которая становится все менее надежной по мере возрастания порядка авторегрессии. В принципе эта проблема преодолима [см. работу Э. Харви (Harvey, 1981, р. 206)], но требуемая корректировка нечасто встречается в компьютерных регрессионных пакетах.

Уравнение (7.52) представляет результаты оценивания регрессии по методу Кокрана—Оркатта четвертого порядка для функции спроса на продукты питания (без поправки Прайса—Уинстена):

logyt= 3,12 + 0,73 log х,-0,68 log/?,; Д2 = 0,991; (7.52) (со.) (0,63) (0,06) (0,16)

ut= 0,61^, 0,03w,_2 0,28w,_3 + 0,23w,_4. (7.53) (0,26) (0,29) (0,30) (0,27)

Уравнение (7.53) подтверждает, что если автокорреляция остатков является авторегрессионным процессом, то она должным образом аппроксимируется моделью первого порядка.

Упражнение

Выполните аналогичный тест с множителем Лагранжа для логарифмической регрессии функции спроса на выбранный вами товар1.

Приложение 7.3

Иллюстрация того, что d-статистика Дарбина—Уотсона приближается к(2-2р)

т т

X (et et-{)2 X (4 2et-et + 4-і)

т т

І*,2 X*2

/=1 /=1

т т т т

= *=? + i=g = 2-2*4=

т т т т

X*2 Х<2 X*,2 s«? /=і /=і /=і /=і

(7.54)

т При выполнении теста вам может потребоваться техническая помощь со стороны преподавателя. Если в вашем регрессионном пакете реализован метод Кокрана—Оркатта более высокого порядка, то следует выполнить оценивание уравнения с его использованием.

так как М— — будут близкими к единице, если выборка достаточно

г

большая. Поскольку L=^f является оценкой р, то d является оценкой для

t=l

(2-2р).

Приложение 7.4

Взвешивание первого наблюдения при использовании метода Кокрана—Оркатта

Мы видели в разделе 7.7, что если yt связано с xt соотношением (7.20) и ut выражается через ut_x и є, в форме авторегрессионного процесса первого порядка (7.21), то можно устранить автокорреляцию путем оценивания регрессии у, от xt, где

Тогда случайные члены в Т наблюдениях (u{ в первом наблюдении и гт в остальных) будут распределены независимо. Остается одна проблема: теоретическая дисперсия и в первом наблюдении (а2) отличается от теоретической дисперсии в остальных наблюдениях (с2). Таким образом, мы решили проблему автокорреляции за счет введения особого случая гетероскедастичности. Используя формулу (7.21), мы можем выразить а2 через а2:

а 2 = pop. var (ut) = pop. var (pw,_, + є,) =

*= p2pop. var (w,_i)+ POPvar (є,) + 2p pop. cov (uf_{, є,) = р2а2 + ає2, (7.55)

так как ии и єг независимы. (Мы предполагаем, что | р | < 1, и это неравенство, как можно показать, является условием, чтобы дисперсия и была независимой от /, что позволяет нам записать pop. var (ut) = pop. var (ut_{) = а2.) Таким образом,

(7.56)

Если р близко к единице, то а2 будет значительно больше, чем а2, и первое наблюдение станет оказывать, вообще говоря, непропорционально сильное воздействие на результаты оценивания регрессии. Вместе с тем использование соотношения (7.56) позволяет устранить гетероскедастичность. Если мы учтем первое наблюдение с «весом» ^/l р2, то случайный член в этом наблюдении примет вид д/і р2 . Дисперсия этой величины равна (1-р2)а2, что, конечно, равно дисперсии а2 случайного члена в остальных наблюдениях.