Доказательство несостоятельности

Доказательство несостоятельности

Доказательство справедливости выражения (8.12) не содержит ничего такого, что было бы нам неизвестно, и оно не особенно длинно, поэтому и приводится в данной книге. Если, однако, оно покажется трудным, можно пропустить его и перейти к следующему разделу.

Так как х и и не являются независимо распределенными величинами, не существует простого способа описать результирующее поведение отношения Cov (х, u)/Var (х) в малых выборках. Нельзя даже получить выражение для его математического ожидания. Самое большее, что можно сделать, — это предсказать его поведение в том случае, если бы выборка была очень большой. Это отношение стремилось бы к теоретической ковариации между х и и, деленной на теоретическую дисперсию х. Мы рассмотрим этот вопрос отдельно.

Пользуясь определениями х и и, а также правилами вычисления ковариации, можно получить разложение их выборочной ковариации:

Cov (х, и) = Cov {(z + w),(v Pw)} =

= Cov (z, v) + Cov (vv, v) Cov (z, M Cov (w, pw). (8.13)

Выборочные дисперсии и ковариации с ростом объема выборки стремятся к своим теоретическим аналогам, если последние существуют. В нашем случае как pop. cov (z, v), так и pop. cov (z, pw) равны нулю. Предположим, что связь между v и w отсутствует, так что pop. cov (w, v) равна нулю. Тогда остается член -pop. cov (w, pw), представляющий собой -р pop. cov (w, w) или -p pop. var (w). Следовательно, теоретическая ковариация между х и и равна ~Paw2.

Теперь мы рассмотрим Var(x): она равна Var w). Поэтому, используя правила вычисления дисперсий, имеем:

Var (х) = Var (z + w) = Var (z) + Var (w) + 2 Cov (z, и>). (8.14)

В предположении, что z и w распределены независимо, получим, что pop. cov (z, w) равна нулю, a Var (х) будет в больших выборках стремиться к

Сопоставляя эти два результата, можно показать, что Cov (х, w)/Var(x) в больших выборках стремится к —Ра 2/(а2 + а2); поэтому ввиду (8.2) b стремится к

' ,2

Р(8.15)

Если выразить это, используя показатели сходимости по вероятности, то можно записать:

..... Q pIim{Cov(x, и)} 0 -ра2

phm(Z0 = Р + * ' Д / = Р + 2 2- (8 16)

phm{Var(x) а^+а^ *вло'

Ошибки измерения зависимой переменной

Ошибки измерения зависимой переменной не имеют столь большого значения. На практике их можно считать составляющими случайного члена. Они нежелательны, так как все, что увеличивает «уровень шума» в модели, приводит к уменьшению точности оценок коэффициентов регрессии; тем не менее, они не вызывают смещения этих оценок.

Предположим, что истинное значение зависимой переменной равно q и истинная зависимость имеет вид:

? = oc + px + v, (8.17)

где v — случайный член. Если yt — это измеренное значение зависимой переменной в 1-м наблюдении и г, — ошибка измерения, то

Уі = Я, + гг (8.18)

Следовательно, зависимость между наблюдаемым значением зависимой переменной и х представляется выражением:

j;-r = a + pjc + v, (8.19)

которое может быть переписано как

j; = a + px + w, (8.20)

где и — составная случайная переменная (v +г).

Единственное отличие этой модели от обычной заключается в том, что случайный член в уравнении (8.20) имеет две составляющие: первоначальный случайный член и ошибку измерения^. Важно, что здесь нет воздействия на объясняющую переменную х. Следовательно, если переменная х является неслучайной или если она распределяется независимо от и, то МНК по-прежнему будет давать несмещенные оценки.

Дисперсия Var(x), не стремящаяся к конечному пределу при увеличении объема выборки

Если с ростом объема выборки Var (х) неограниченно увеличивается, то в обсуждение последствий включения в объясняющую переменную ошибок измерения требуется внести поправку. Мы видели, что для любой конечной выборки

Р VarU) + Var(w) + 2Cov(*,w) (И-^1)

Можно показать, что при разумных предположениях, когда Var (z) увеличивается, все другие составляющие ошибки становятся пренебрежимо малыми по сравнению с Var (г), и, следовательно, при росте объема выборки ошибка будет стремиться к нулю. Другими словами, влияние ошибок измерения становится пренебрежимо малым в больших выборках, в результате чего оказывается, что МНК приводит к состоятельным оценкам. Тем не менее в малых выборках они будут смещенными.

Более важное предположение состоит в том, что переменная w действительно гомоскедастична. Это значит, что о2 постоянна; следовательно, мы предполагаем, что дисперсия ошибки измерения не увеличивается по мере ростах. Если же это не так, то наши рассуждения и выкладки становятся некорректными.

Упражнения

В некоторой отрасли промышленности фирмы определяют соотношение между запасами готовой продукции (У) и ожидаемыми годовыми объемами продаж (Xе) в соответствии с линейной зависимостью:

Y=a + $Xe.

Фактические объемы продаж отличаются от ожидаемых на случайную величину и, которая распределена с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией:

Х= Xе + и.

При этом распределение и независимо от Xе.

В распоряжении исследователя имеются данные об К и Х(но не об X*), полученные по результатам перекрестной выборки для фирм в стране. Опишите проблемы, с которыми придется иметь дело в случае использования обычного МНК при построении регрессионной зависимости У от Хи оценивании аир.

В аналогичной отрасли промышленности фирмы связывают предполагаемые запасы готовой продукции (Y*) с ожидаемыми годовыми объемами продаж (Xе), используя линейную зависимость:

Г + а + р*<.

Фактические объемы продаж X отличаются от ожидаемых на случайную величину и, которая распределена с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией:

Х=Хе + и.

Величина и распределена независимо от Xе. Так как непредусмотренные объемы продаж приводят к уменьшению запасов, фактические запасы Y выражаются в виде:

Y= Y*-u.

В распоряжении исследователя имеются данные по У и X перекрестной выборки фирм в масштабе страны (но нет данных по Y* и Xе). Опишите проблемы, с которыми придется столкнуться в этом случае, если для оценивания а и (3 при построении регрессионной зависимости Кот А'используется обычный МНК.