10.3. частичная корректировка

10.3. частичная корректировка

В модели частичной корректировки предполагается, что поведенческое уравнение определяет не фактическое значение зависимой переменной уп а ее желаемый (или «целевой») уровень у*:

/, = сс + рх,+ иг (10.14)

Предполагается также, что фактическое приращение зависимой переменной yt~yt-x пропорционально разнице между ее желаемым уровнем и значением в предыдущий период, то есть yt — yt_{.

y-y^^Xiy-y^) + v, (0 < X < 1), (10.15)

где vt — случайный член. Это выражение может быть переписано как

yt = Xyl+(-)y,_l + vt (0<\< 1), (10.16)

откуда видно, что yt получается как взвешенное среднее желаемого уровня и фактического значения этой переменной в предыдущем периоде. Чем больше значение ^, тем быстрее происходит процесс корректировки. Если значение ^= 1, то yt равно уп и полная корректировка происходит за один период. В другом крайнем случае, когда значение Х = 0, корректировка yt не происходит совсем. Подставив выражение (10.14) в формулу (10.16), можно получить:

у, = аХ + рх, + (1 X)yt_l + v, + Хиг (10.17)

Как следствие, параметры а, Р и X поведенческой модели (10.14) и (10.15) могут быть оценены с помощью построения уравнения регрессионной зависимости у, от хг и Уі_х. Коэффициент при Уг_х дает оценку (1 — X), а следовательно, и А,; коэффициент при хп деленный на оценку X, дает оценку Р; а постоянный член, деленный на оценку X, дает оценку а.

Как и в уравнении (10.11), эта модель включает стохастическую объясняющую переменную, которой снова является у^х. Но теперь эта переменная по крайней мере коррелирует не с текущим значением совокупного случайного члена уравнения, поскольку как v,, так и ut рассчитываются после того, как определилось значение^,. Как мы видели в разделе 8.1, при таких условиях МНК позволяет получать асимптотически несмещенные и эффективные оценки {«асимптотически» здесь означает «с ростом объема выборки»), однако оценки не будут обладать этими свойствами на малых выборках.

Хотя модель частичной корректировки на первый взгляд и не относится к моделям Койка, мы покажем, что на самом деле это именно так. Если уравнение (10.17) выполняется для ур оно должно выполняться и для Уг_х

уы =аХ + рХх^ + (1 Х)Уг_2 + Vl + 7шы. (10.18)

Подставив выражение для ^ в уравнение (10.17), получаем (опустив для простоты случайный член):

у, = аХ (1 + [1 М) + РХх, + (1 X) рх*м + (1 ХУУґ-2. (10.19)

Точно так же выбрав позапрошлый период в уравнении (10.18), можно вывести выражение для y^l9 которое в свою очередь может быть подставлено в уравнение (10.19), и так до бесконечности. В итоге мы получим выражение для yt через текущие и лаговые значения х с геометрически убывающими весами в виде модели Койка. Заменив (1 — X) на 8, а $Х — на Р', мы имеем:

у, = а + р'(х, + + 52х^2 + 5Ч-з +•••), (10.20) что по форме совпадает с уравнением (10.6).

Пример: модель корректировки размера дивидендов (модель Линтнера)

Пионерские исследования политики компаний относительно распределения дивидендов, проведенные Дж. Линтнером (Lintner, 1956), — широко известный пример использования модели частичной корректировки. Обычно производственные компании распределяют прибыль, остающуюся после уплаты налогов, частично на выплату доходов акционерам в форме дивидендов, а оставшиеся средства направляют на финансирование инвестиций. Когда прибыль растет, дивиленды тоже увеличиваются, но, как правило, не в той же пропорции. Причиной этого в основном является осторожность руководства компаний. Возрастание прибыли может оказаться временным, и если дивиденды будут увеличиваться слишком быстро, вполне вероятно, что впоследствии их придется сокращать. По мнению руководства компании, ничто не наносит такой сильный удар по репутации фирмы, как сокращение дивидендов, поэтому оно проявляет большую осторожность с целью избежать риска. (Это, конечно, самоусиливающийся процесс. Именно по причине того, что многие компании так неохотно уменьшают дивиденды, если какая-нибудь из них вынуждена так поступить, это служит признаком наличия серьезных проблем.) Вторым доводом против немедленного увеличения дивидендов в той же пропорции, что и рост прибыли, является соображение о том, что рост прибыли может свидетельствовать об улучшении инвестиционных возможностей, требующих финансирования.

Моделируя описанное поведение, Дж. Линтнер предположил, что у фирм имеется целевая долгосрочная доля выплат у и что желаемый объем дивидендов D] соотносится с текущей прибылью П, как

/>; = уП,. (10.21)

Однако реальный объем дивидендов подвержен процессу частичной корректировки:

ADt = XiD'-D^) + i/„ (10.22)

где uf — случайный член. Как следствие

D, — Dt_l = у (/Г, Dt_{) + и= уШ, XD^ + и„ (10.23)

или

Z>, = Yxn,+ (l-X)Z)M + i/r (10.24)

Используя данные о деятельности корпоративного сектора США за период 1918—1941 гг., Дж. Линтнер построил следующее уравнение регрессии:

Д = 352,3 + 0,15П, + 0,70Я,_„ (10.25)

где все коэффициенты значимо отличаются от нуля при уровне значимости в 1\%.

Коэффициент при /),_! позволяет оценить (1-Х) как 0,70 и, следовательно, коэффициент скорости корректировки — как 0,3. Поскольку коэффициент при П, служит оценкой уХ, то, разделив его на 0,3, мы получим оценку для доли выплат, равную 0,5.

Упражнения

10.2. Линейное и логарифмическое уравнения регрессионной зависимости и объема расходов на жилье (у) от располагаемых доходов (*,), индекса цен на жилье (pt) и объемов этих расходов с лагом в один период, построенные на данных за 1959—1983 гг. из табл. 6.9, выглядят следующим образом (в скобках указаны значения стандартных ошибок):

у, =21,86 + 0,022х,0,210/?,+ 0,871^/Н; (9,54) (0,007) (0,081) (0,036)

л2 = 0,999;

l<Sg yt =0,44 + 0,15 log*, 0,15 ogpt + 0,845 log j^p R2 = 0,999. (0,37) (0,05) (0,06) (0,037)

Дайте интерпретацию обоих уравнений и проанализируйте их динамические свойства.

В логарифмическом уравнении регрессии в упражнении 10.2 rf-статис-тика Дарбина—Уотсона равна 1,89. Рассчитайте Л-статистику и проведите тест на автокорреляцию, приняв предположение, что выборка достаточно велика для того, чтобы эта статистика имела распределение, близкое к Лґ(0,1), при принятии гипотезы об отсутствии автокорреляции. (ОбЛ-тесте см. раздел 7.8.)

Если в предыдущем упражнении убрать лаговое значение зависимой переменной из уравнения регрессии, т. е. если оценить зависимость log yt от log xt и log рп как это показано в уравнении (10.1), ^/-статистика Дарбина— Уотсона оказывается равной 0,35. Объясните, почему во вновь построенном уравнении возникает автокорреляция, в то время как в предыдущем ее нет.

Оцените линейное и логарифмическое уравнения регрессии, как и в упражнении 10.2, для товара, выбранного для вас в упражнении 2.4. Дайте интерпретацию полученных результатов.

Проведите тест на автокорреляцию для уравнений регрессии, построенных в упражнении 10.5. Если вы обнаружите существенную автокорреляцию, проведите переоценку регрессии с помощью метода Кокрана—Оркатта или другого подобного метода.

В одном из первых исследований динамики совокупного потребления Т.М. Браун (Brown, 1952), используя годичные данные для Канады за период 1926—1949 гг. и исключив военное время 1942—1945 гг., построил следующее уравнение регрессии с помощью метода оценки одновременных уравнений (в скобках указаны значения Г-статистики):

С, = 0,90 + 0,61 Wt + 0,28 NWt + 0,22с,_, + 0,69л, (4,8) (7,4) (4,2) (2,8) (4,8)

где С, —* совокупное потребление; Wt — совокупный фонд заработной платы; NWt — совокупный доход за вычетом фонда заработной платы; А — фиктивная переменная, равная нулю для довоенного периода и единице — для послевоенного. Переменные доходов и потребления измерены в миллиардах канадских долларов в постоянных ценах 1935—1939 гг. Разделение дохода на заработную плату и остальную часть сделано в соответствии с предположением Ло-уренса Клейна о том, что предельная склонность к потреблению за счет заработной платы превышает предельную склонность к потреблению за счет прочих доходов и поэтому две данные составляющие должны фигурировать отдельно. Покажите, что эта регрессионная модель формально может рассматриваться как модель частичной корректировки, и предложите соответствующую интерпретацию для ее коэффициентов. ,

Как бы вы проверили предположение Л. Клейна с помощью данных, использованных Т.М. Брауном?

В своей классической работе «Распределенные лаги и анализ инвестиционных процессов» (1954) Л.М. Койк исследовал связь между инвестициями на приобретение железнодорожных вагонов и объемом перевозок на железных дорогах США на данных за период 1894—1939 гг. Предположив, что желаемый парк вагонов в году / зависит от объема перевозок в годы t — 1 и t — 2 и от временного тренда, а также что затраты на приобретение вагонов подлежат частичной корректировке, он с помощью МНК получил следующее уравнение регрессии (стандартные отклонения и постоянный член не приводятся):

/, = 0,077FM + 0,017/v_2 0,0033/ 0,1