1.1. выборочная ковариация

1.1. выборочная ковариация

Выборочная ковариация является мерой взаимосвязи между двумя переменными. Данное понятие будет проиллюстрировано на простом примере. Со времен нефтяного кризиса 1973 г. реальная цена на бензин, т. е. цена бензина, отнесенная к уровню общей инфляции, значительно возросла, и это оказало заметное воздействие на потребительский спрос. Просматривая данные табл. Б.1, помещенной в приложении в конце книги, можно увидеть, что в период между 1963 и 1972 гг. потребительский спрос на бензин устойчиво повышался. Эта тенденция прекратилась в 1973 г., а затем последовали нерегулярные колебания спроса с незначительным его падением в целом. В табл. 1.1 приведены данные о потребительском спросе и реальных ценах после нефтяного кризиса. (Реальная цена вычислялась путем деления индекса номинальной цены на бензин, приведенного в табл. Б.2, на общий индекс потребительских цен из той же таблицы и умножения результата на 100. Индексы в табл. Б.2 основаны на данных 1972 г.; таким образом, индекс реальной цены в табл. 1.1 показывает повышение цены бензина относительно общей инфляции начиная с 1972 г.)

На рис. 1.1 эти данные показаны в виде диаграммы рассеяния. Можно видеть некоторую отрицательную связь между потребительским спросом на бензин и его реальной ценой.

Показатель выборочной ковариации позволяет выразить данную связь единым числом. Для его вычисления мы сначала находим средние (для рассматриваемого выборочного периода) значения цены и спроса на бензин. Обозначив

цену через р и спрос — через у, мы, таким образом, определяем р и у, кото

рые для этой выборки оказываются равными соответственно 143,36 и 26,27. Затем для каждого года вычисляем отклонение величин р и у от средних и перемножаем их. Для первого года (/?-/?) равно (103,5143,36), или -39,86, и(у-у)

равно (26,2 — 26,27), или —0,07, а произведение(р-р)(у-у) составит 2,79. Проделаем это для всех годов выборки и возьмем среднюю величину, она и будет выборочной ковариацией (как видно, не очень сложно вычисляемой).

Определение

При наличии п наблюдений двух переменных (х и у) выборочная ковариация между х и у задается формулой:

Cov(x, у) = £ (х,х)(Уі у) = {(х, х)(Уі у) + ... + (хп х)(уп -у)}. (1.1) п /=1 п

Замечание 1. В разделе 1.4 мы определим также ковариацию генеральной совокупности. Для различения этих двух ковариации мы используем обозначение Cov (х, у) с прописной буквы С применительно к выборочной ковариации и pop. cov (х, у) — для ковариации между х и у в генеральной совокупности. Иногда последнюю будет удобно обозначать как а . Аналогичные обозначения мы используем и для дисперсии: Var(x) — применительно к выборочной дисперсии и pop. var (х) — к дисперсии для генеральной совокупности (теоретической).

Замечание 2. В некоторых учебниках выборочная ковариация по аналогии с выборочной дисперсией определяется путем деления на (n— 1) вместо п по

200 180 160 140 120 100

24

25

26

27

28

29

Спрос на бензин (млрд. долл., цены 1972 г.)

Рис. 1.1. Спрос на бензин в США, 1973-1982 гг.

причинам, которые будут объяснены в разделе 1.5. В примере с бензином детали проведенных вычислений для всей выборки приведены в табл. 1.2. Здесь в

столбцах 2 и 3 представлены исходные данные для р и у. В результирующих

Спрос на бензин (млрд. долл., цены 1972 г.)

последнего столбца определяется средняя величина (—16,24), она и является значением выборочной ковариации.

Вы должны заметить, что ковариация в данном случае отрицательна. Так это и должно быть. Отрицательная связь, как это имеет место в данном примере, выражается отрицательной ковариацией, а положительная связь — положительной ковариацией.

Имеет смысл рассмотреть причину этого. Рисунок 1.2 точно такой же, как и рис. 1.1, но здесь диаграмма рассеяния наблюдений делится на четыре части

вертикальной и горизонтальной линиями, проведенными через риу соответственно. Пересечение этих линий образует точку (р, у), которая показывает среднюю цену и средний спрос за период времени, соответствующий нашей выборке. Используя аналогию из физики, можно сказать, что эта точка является центром тяжести совокупности точек, представляющих наблюдения.

Для любого наблюдения, лежащего в квадранте А, значения реальной цены и спроса выше соответствующих средних значений. Для данных наблюдений как

(р-р), так и (у-у) являются положительными, а поэтому должно быть положительным и (рр)(у-у). Наблюдение, таким образом, дает положительный вклад в ковариацию. Так, например, наблюдение за 1979 г. лежит в этом квадранте и (р-р) = 6,34, (у-у) = 1,13, а их произведение равно 7,16.

Далее рассмотрим квадрант В. Здесь наблюдения имеют реальную цену ниже средней и спрос выше среднего. Поэтому (р-р) отрицательно, (у-у) положительно, произведение (р-р)(у-у) отрицательно, и наблюдение вносит отрицательный вклад в ковариацию. Например, наблюдение за 1978 г. имеет (р-р) =

= —21,76, (у-у) =2,03 и (р-р)(у-у), таким образом, равно -44,17.

В квадранте С как реальная цена, так и спрос ниже своих средних значений. Таким образом, (р-р) и (у-у) оба являются отрицательными, а

(рр)(уу) положительно. (В качестве примера см. наблюдение за 1974 г.)

Наконец, в квадранте D реальная цена выше средней, а спрос ниже среднего. Таким образом, (р-р) положительно, (у-у) отрицательно, поэтому

(рр)(у-у) отрицательно, и в ковариацию, соответственно, вносится отрицательный вклад. (В качестве примера см. наблюдение за 1981 г.)

Поскольку выборочная ковариация является средней величиной произведения (р р)(у у) для 20 наблюдений, она будет положительной, если положительные вклады будут доминировать над отрицательными, и отрицательной, если будут доминировать отрицательные вклады. Положительные вклады исходят из квадрантов А и С, и ковариация будет, скорее всего, положительной, если основной разброс пойдет по наклонной вверх. Точно так же отрицательные вклады исходят из квадрантов В и D. Поэтому если основное рассеяние идет по наклонной вниз, как в данном примере, то ковариация будет, скорее всего, отрицательной.