11.4. инструментальные переменные (ип)

11.4. инструментальные переменные (ип)

Как было показано в главе 8, проблема коррелированное™ объясняющей переменной со случайным членом может быть разрешена с помощью метода инструментальных переменных (ИП). Здесь, хотя и в силу других причин, мы сталкиваемся с такой же проблемой, и для ее решения в принципе можно использовать аналогичный подход.

Для применения данного метода необходимо сначала найти подходящую инструментальную переменную, которая обладала бы следующими свойствами: 1) она должна коррелировать, желательно тесно, с неудачной объясняющей переменной (в данном случае с Y); 2) она не должна коррелировать со случайным членом. Так получается, что модель сама предоставляет нам необходимую переменную. Величина It коррелирует с Yt, поскольку Yt зависит от

In согласно приведенной форме уравнения (11.3), и It не коррелирует с ип поскольку является экзогенной переменной. Оценка (3 с помощью инструментальной переменной It определяется как

Cov(/,C)

^=С^(ЛУ)01.19)

Можно показать, что полученная оценка Ьип эквивалентна Ьшнк — оценке р с помощью КМНК. Возвращаясь к (11.11) и учитывая, что b'рассчитывается как Cov (/, C)/Var(7), мы получим:

Cov(/,C)

. V Var(/) _ Cov(/,C) _Cov(/,C) .

ШНК~1 + А' . Cov(/,C) Var(/) + Cov(/,C) Var(/,K) ип' (11.20) Var(/)

поскольку Cov(I, Y) может быть переписана как Cov (/,[/+ С]) и далее преобразована в Var (/) + Cov (/, С).

Описанное правило применимо и в общем случае. Если уравнение в модели одновременных уравнений однозначно определено, метод ИП позволяет получить те же самые оценки коэффициентов, что и КМНК, если экзогенные переменные модели используются как инструментальные переменные. Поэтому КМНК можно рассматривать как частный случай метода ИП.

Пример

Если обратиться к модели в эксперименте по методу Монте-Карло, построенной для иллюстрации применения КМНК, и использовать вместо этого метод ИП, взяв / как инструментальную переменную для Y, то мы получим в точности те же оценки аир, что и в последних двух столбцах табл. 11.1.

Свойства оценок, полученных методом ИП и КМНК

Анализируя КМНК, мы показали, как можно получить оценки структурных параметров из оценок коэффициентов уравнений в приведенной форме, но ничего не сказали о свойствах этих оценок: являются ли они несмещенными, состоятельными и т.д., не показали, как рассчитать их стандартные ошибки.

Теперь, когда показано, что в случае однозначной определенности КМНК эквивалентен методу ИП, мы можем ответить на все эти вопросы, обратившись к разделу 8.4. И хотя КМНК позволяет получить несмещенные оценки параметров уравнений в приведенной форме (что обеспечивается выполнением традиционных условий Гаусса—Маркова), нельзя делать какие-либо выводы об оценках коэффициентов структурных уравнений, рассчитанных с помощью КМНК и метода ИП на малых выборках. Приняв некоторые предпосылки, можно показать, что эти оценки состоятельны, и вывести выражения для их стандартных ошибок, применимые на больших выборках. В частности, в случае уравнения с одной объясняющей переменной величина дисперсии распределения Ъ с ростом числа наблюдений стремится к выражению (8.38). (Применительно к рассматриваемой модели в качестве х используется переменная У, в качестве Z— переменная /.)

Обычно, однако, на практике выборка оказывается не такой большой, чтобы можно было положиться на полученные результаты, и остается просто надеяться, что они приблизительно верны. Если для данной модели вам действительно необходимо исследовать свойства оценок, полученных с помощью КМНК и метода ИП, то можно выполнить соответствующие эксперименты по методу Монте-Карло.

Используя эксперименты по методу Монте-Карло, можно проверить состоятельность оценок на основе МНК и метода ИП, объединив 10 выборок в одну большую выборку из 200 наблюдений. Построение уравнения регрессии между С, и Yt методом ИП с использованием It как инструментальной переменной дает оценку предельной склонности к потреблению 0,76, что очень близко к действительной ее величине. Используя КМНК, мы оцениваем регрессионную зависимость С, от 7, и получаем коэффициент при этой переменной, равный 3,20. С его помощью мы рассчитываем предельную склонность к потреблению, равную 0,76, т. е. имеем точно такое же значение, как и для оценки методом ИП.