11.8. условие размерности для идентификации

11.8. условие размерности для идентификации

Как мы уже убедились, в общем случае уравнение окажется идентифицируемым, если имеется достаточно экзогенных переменных, не включенных в само уравнение, которые можно использовать как инструментальные для всех эндогенных переменных уравнения. В полностью определенной модели будет столько уравнений, сколько имеется эндогенных переменных. Предположим, что число тех и других равно G. Максимальное число эндогенных переменных, которые могут появиться в правой части уравнения, равно G — 1 (оставшаяся переменная — зависимая переменная этого уравнения). В таком случае нам необходимо по крайней мере (G — 1) экзогенных переменных, не включенных в это уравнение, которые использовались бы как инструментальные.

Предположим, однако, что в уравнение не включено j эндогенных переменных. Тогда нам понадобится лишь (G — 1 —j) инструментальных переменных, то есть (G— 1 — у) экзогенных переменных не должны быть включены в это уравнение. Однако общее число невключенных переменных остается прежним: j эндогенных переменных и (С — 1 — j) экзогенных переменных составляют в сумме G — 1.

Таким образом, мы приходим к общему выводу о том, что уравнение в модели с одновременными уравнениями наверняка окажется идентифицируемым, если в него не включено (G — 1) или более переменных. Если не включено точно (G1) переменных, оно, скорее всего, будет однозначно определенным, и в этом случае к одинаковым результатам приведет применение КМНК или метода ИП. Если не включено более (G 1) переменных, уравнение будет переопределенным, и для его оценки используется ДМНК.

Это правило известно как условие размерности для идентификации. Здесь необходимо подчеркнуть, что данное условие является необходимым для идентификации, но вовсе не достаточным. Имеются случаи, которые мы не будем рассматривать здесь, когда уравнение является на самом деле недоопределен-ным, однако условие размерности для него выполняется.

Нулевые и не нулевые ограничения

Исключение (G — 1) переменных из уравнения может рассматриваться как утверждение, что коэффициенты при этих переменных в уравнении равны нулю. Представляя условие размерности формально, мы можем утверждать, что уравнение наверняка является идентифицируемым, если оно содержит G — 1 (или больше) нулевых ограничений.

рднако это не единственный вид ограничений, который может приводить к идентифицируемости уравнения. Рассмотрим также три других вида ограничений.

Внешняя информация

При наличии внешней информации ее можно использовать для преодоления недоопределенности модели. Самый простой пример — это возможность получить независимую оценку одного из структурных параметров на другом множестве данных.

Рассмотрим снова вариант уравнений спроса и предложения из раздела 11.5 и предположим, что имеются приведенные формы уравнений регрессии (11.31) и (11.32). Из них мы получили четыре уравнения с пятью неизвестными (11.34). Уравнение предложения оказалось идентифицируемым, уравнение спроса — нет.

Однако допустим, что появилась возможность получить оценку коэффициента при показателе дохода из другого источника например, применяя регрессионный анализ к данным перекрестной выборки, как это описано в разделе 5.5. [До этого уравнения (11.31) и (11.32) были оценены на временных рядах.] Теперь имеются четыре уравнения с четырьмя неизвестными, и можно получить решение полностью, идентифицировав как уравнение предложения, так и уравнение спроса.

Предположим для примера, что на множестве структурных данных вы получили оценку с, равную 0,1. Кроме того, уже были оценены ранее d= 2 и е = 3 [см. уравнения (11.35) и (11.36)]. Теперь, зная величину с, можно использовать первые две части уравнения (11.34) для расчета а и Ь:

с/(е-Ь) = 0,1/(3 — Ь) = 0,02;

(a -d)/(e-b) = (а -2)/(3 Ъ) = 2,0.

(11.48) (11.49)

Из первого уравнения можно получить Ь = —2, из второго а= 12. В итоге оцененные структурные уравнения имеют вид:

9ё= 12-2/> + 0,1х; Л=2 + 3/>.

(11.50) (Н.51)

Описанный подход скрывает две опасности, о которых всегда следует помнить. Во-первых, точность внешней оценки определяет точность получаемых с ее помощью оценок параметров. Во-вторых, имеется риск того, что значение коэффициента для внешней оценки отличается от его значения в модели. Обе эти проблемы рассматриваются в разделе 5.5.

Соотношение между коэффициентами

В некоторых случаях неидентифицируемая модель может быть идентифицирована заданием соотношения между структурными коэффициентами. Это можно объяснить на другом примере с использованием модели спроса и предложения. Предположим, что продавцы товара облагаются специальным налогом Т, который они должны платить из выручки. Уравнение спроса остается неизменным, если переменная р обозначает рыночную цену на товар. Однако уравнение предложения изменяется под воздействием размера налога:

у, = сх + Р/7 + ^; (11.52)

у5= 5 + гр + ХТ+ us, (11.53)

и X, как ожидается, принимает отрицательное значение.

Прежде чем рассуждать далее, заметим, что уравнение спроса будет идентифицируемо, поскольку переменная Гне включена в него и может выступать как инструментальная для р (мы предполагаем, что значение Г изменялось во временном периоде, представленном выборкой данных), тем не менее уравнение предложения является неидентифицируемым. В то же время мы можем улучшить спецификацию модели. Вполне обоснованным является предположение о том, что продавцы товара реагируют на сумму, которую они получают после уплаты налога, т. е. на (р Т), и уравнение (11.53) может быть переписано в виде:

ys=b + e(p-T) + us. (11.54)

Другими словами, мы ввели ограничение X = —е. Это сделало уравнение предложения идентифицируемым. Если использовать КМНК для оценивания исходной модели, то соотношения в приведенной форме, выражающие у и р через Г, представляли бы четыре уравнения с пятью неизвестными. Введенное ограничение добавляет еще одно уравнение, и в итоге все структурные параметры могут быть однозначно оценены.

При использовании метода ИП можно рассматривать новую версию модели как систему из четырех уравнений:

у,= сх + Р/7 + ^; (11.55)

у5=Ъ + гр+и5; (11.56)

P-P-T- (11.57)

у< = у* (П.58)

где р* — цена, получаемая продавцом товара, а уравнение (11.57) является тождеством. Переменная Т не включена в уравнение спроса, поэтому она может использоваться как инструментальная для р. Точно так же эта переменная не включена в уравнение предложения, поэтому она может использоваться как инструментальная для р*. В итоге оба уравнения оказываются определенными.

Не нулевое ограничение, как и нулевое ограничение, позволяет исключить одну объясняющую переменную из уравнения. Если эта переменная эндогенная, то уже не нужно искать для нее инструментальную переменную. Если эта переменная экзогенная, то она освобождается на роль инструментальной для одной из эндогенных переменных, оставшихся в уравнении.

Ограничения на распределение случайных членов

В модели спроса и предложения мы считали, что случайные члены ud и us

имеют дисперсию о^ и о^ соответственно, ковариация между ними равна

<yU(/UsДисперсия случайных членов vy и vp в приведенной форме уравнений является линейной функцией этих величин. Если теоретические соображения позволяют наложить ограничения, включающие значения дисперсии и ковариации, в уравнения в структурной форме, это преобразуется в ограничения на их аналоги в приведенной форме, что может быть использовано для получения дополнительного соотношения между оценками структурных параметров.

Предположим, например, что имеется основание утверждать, что случайные члены в уравнениях спроса и предложения распределены независимо друг

от друга, т. е. что значение oUjUx = 0. После некоторых преобразований можно

показать, что это приводит к соотношению:

°ly + "(P + £)<V, =0. ^ (11.59)

Если подставить в данное уравнение оценки дисперсий для vy и vs и ковариации между ними, полученные для уравнений регрессии приведенной формы, то получим простое соотношение, включающее оценки Риє, которое поможет идентифицировать до этого неидентифицируемое уравнение (в качестве практического примера см. работу Я. Кменты [Kmenta, 1986, pp. 678— 681]).

Как узнать, какие предположения необходимо сделать об экзогенных переменных?

Очевидно, возникает большое желание выявить экзогенные переменные, которые появляются в одних уравнениях и не встречаются в других в модели с одновременными уравнениями. Например, в модели из двух уравнений важно выявить одну экзогенную переменную для первого уравнения, которая не появляется во втором, и другую переменную для второго уравнения, которая не встречается в первом; в таком случае модель окажется однозначно идентифицируемой.

Возможно, что экономический смысл модели заставляет включать в нее такие переменные в первую очередь. И чем их будет больше — тем лучше. Однако если модель в своей исходной формулировке не содержит достаточное число экзогенных переменных, вполне естественно остановиться и подумать о выявлении дополнительных экзогенных переменных. Обычно это оказывается не так сложно. Приложив немного воображения, можно выявить достаточное число переменных для идентификации каждого уравнения, даже для его сверхидентификации. Затем использовать метод ИП или ДМНК для оценки параметров.

Однако насколько все это окажется удачным? Ответ на этот вопрос может быть дан на двух уровнях. Во-первых, включение новой переменной (переменных) может базироваться лишь на вашем пожелании, и это выяснится, когда вы получите результаты оценивания регрессии, где стандартные ошибки окажутся значительными по сравнению с их коэффициентами, а /-статистики — незначимыми. Во-вторых, даже если использование новой переменной как инструментальной приводит к значимым результатам, это может быть следствием ошибочных установок. Рассмотрим следующую простую модель спроса и предложения:

yd = a + £p + ud; (11.60)

у, = Ь + ер + иґ (11.61)

В представленном виде оба уравнения являются недоопределенными. Предположим теперь, что исследователь установил причины включения временного тренда в уравнение предложения. При использовании времени как инструментальной переменной для р уравнение спроса будет определено, и в итоге могут быть получены оценки аи|3. Чтобы подкрепить этот пример, предположим, что уравнение спроса оценено в виде:

= 9,0 2,0/>. (11.62)

Теперь допустим, что другой исследователь полагает, что воздействию временного тренда подвержен спрос. Если этот исследователь оказывается прав, то определено будет уравнение предложения, и время должно использоваться как инструментальная переменная для р в этом уравнении. Что получится, если для оценки берутся те же самые данные? Исследователь получит точно такой же результат:

у = 9,0 -2,0р. (11.63) Оба исследователя используют выражение Cov (у, t)/Cov (р, і) для расчета коэффициента при переменной р, однако первый исследователь считает, что оценивает р, а второй — є. Точно так же оба используют одинаковое выражение для расчета в уравнениях свободного члена. Поскольку получаемые результаты должны оказаться одинаковыми, нет никакого статистического основания для различения гипотез исследователей относительно спецификации модели. Можно привлечь лишь содержательные соображения. В данном случае они могут оказаться в пользу первого исследователя, который ожидает получить отрицательный коэффициент при р, но есть вероятность, что ни один из них не прав или что оба уравнения содержат временной тренд.

Упражнения

11.12. Спрос на товар в некоторой стране (qd), его внутреннее предложение (qs) и импорт этого товара (qm) заданы следующими уравнениями:

qd= а0 + а,/? + a2Y + ud

Я5 = Ро + Pi/7 +

Я„, = Уо + УР + Уі* + Unv

где р — цена товара на внутреннем рынке; w — цена товара на мировом рынке; У — совокупный доход страны; ud, us, um — случайные члены, распределенные независимо друг от друга. Все переменные имеют индекс /, опущенный для удобства. В каждый момент времени рынок находится в равновесии:

Я* = Я* + ЯтИмеются временные ряды значений каждой из переменных за 25 лет.

Объясните, почему попытка оценить эти три уравнения с помощью МНК приведет к получению несостоятельных оценок.

Как вы считаете, в каком направлении будет смещена оценка Рр полученная с помощью МНК? Обоснуйте ваш ответ.

Объясните, возможно ли получение состоятельных оценок коэффициентов данных трех уравнений, и опишите ваши действия для достижения этого результата.

11.13. Пусть уравнения регрессии в приведенной форме в модели, задаваемой (11.52) и (11.53), имеют вид:

р = 40 + 0,6 Т; у = 701,2Г.

Выведите оценки а, р, 8 и є, используя ограничение X = —с.