11.9. идентификация относительно стабильных зависимостей

11.9. идентификация относительно стабильных зависимостей

Возможны случаи, когда вы можете оценить уравнение на основе некоторых предварительных предпосылок о его случайном члене. Это можно объяснить, возвращаясь к модели спроса и предложения, на этот раз в ее простейшем виде:

Уа, = <* + Р/>/+"</,; (11.64) Уз, =S + e/>,+wv (11.65)

Здесь нет экзогенных переменных, и поэтому никакое из уравнений не идентифицируемо. Уравнения в приведенной форме имеют вид:

а 5 udt us ає 68 zud, ~ Pw*,

'-Tqr + ^ЙГ"<1167>

Другими словами, равновесные значения р и у для каждого наблюдения определяются константами (а — 8)/(є — Р) и (ае — Р8)/(е — Р) плюс некоторые случайные компоненты.

Ситуацию можно проиллюстрировать с помощью рис. 11.1. Пунктирные линии представляют фиксированные составляющие уравнений спроса и предложения, и их пересечение дает две только что полученные константы. На рисунке также показаны кривые спроса и предложения для четырех наблюдений. Для первого наблюдения величина и5 положительна, и S{ находится правее линии

Рис. 11.1. Относительно стабильная функция спроса

с фиксированной составляющей, но величина ud отрицательна, и Dx находится левее линии с фиксированной составляющей. В результате величина р получается меньше своего среднего равновесного уровня, однако величина у изменяется несущественно. Аналогично можно рассуждать и для остальных наблюдений.

Очевидно, что точки равновесия случайно разбросаны вокруг фиксированной точки, и оцененное уравнение регрессионной зависимости у от р не будет соответствовать ни функции спроса, ни функции предложения.

Если вы окажетесь достаточно настойчивы в построении уравнения регрессии между у и /?, то коэффициент при /?, равный Cov (у, /О/Var (р), на больших выборках будет стремиться к

Это выражение может быть переписано как

(є Р)(< cUdUs) (е Р)(а^-а^)

Р+ 7 +п2 1п или £" п2 .У 2а ' (11.69)

Как показывает первое выражение в (11.69), полученная оценка может рассматриваться как смещенная оценка р. Как показывает второе выражение в (11.69), она также может трактоваться как смещенная оценка є. Можно делать выбор, но в общем случае оба варианта оказываются бесполезными.

Предположим, однако, что одна из зависимостей является относительно стабильной. Допустим, например, что рассматриваемый товар — мороженое, и спрос на него сильно изменяется от месяца к месяцу в зависимости от сезона, но кривая предложения остается относительно стабильной, поскольку это промышленный товар. Тогда значения сг и GUdUs окажутся относительно небольшими по сравнению с а1 и коэффициент при р будет ближе к є, чем к р. Графически эта ситуация проиллюстрирована на рис. 11.2.

У

Рис. 11.2. Относительно стабильная функция предложения

Точно так же можно рассмотреть случай, когда относительно стабильной, по сравнению с функцией предложения, является функция спроса. Производство сельскохозяйственной продукции, предложение которой подвержено влиянию погоды, может служить примером такой ситуации.

Упражнение

11.14. Вы располагаете следующим набором данных:

Если рассматриваемый товар — обыкновенный промышленный продукте малым лагом между принятием решения об объеме его выпуска и выполнением этого решения, сможете ли вы оценить уравнение спроса? Уравнение предложения?

Предположим, что этот же набор данных характеризует другой товар — сельскохозяйственный продукт, для которого объем выпуска запаздывает на один период времени относительно момента принятия решения. Сможете ли вы оценить уравнение спроса? Уравнение предложения? Нарисуйте соответствующие графики для каждого из случаев. (Здесь предполагается, что уравнения спроса и предложения не подвержены автокорреляции.)

Приложение 11.1

Величина смещения оценки для одновременных уравнений

Для смещения оценки в случае оценивания модели из одновременных уравнений с помощью МНК нет какой-либо однозначной формулы. Каждый раз она будет определяться структурой модели. Здесь мы исследуем смещение для случая, когда с помощью уравнения регрессионной зависимости Сот Yоцениваются параметры функции потребления.

Как было показано в разделе 3.1, оценкар с помощью МНК может быть разбита на две составляющие: истинное значение коэффициента и ошибку:

. Cov(K,C) a Cov(K,w)

Мы хотели бы найти математическое ожидание b. К сожалению, нельзя сделать это непосредственно, поскольку Cov (У, w)/Var (У) — отношение двух величин, каждая из которых частично зависит от одной и той же случайной переменной. Значение Cov (Yy и) непосредственно зависит от и. Величина Var (Y) также зависит от и, так как Y частично определяется и.

В то же время на больших выборках при принятии определенных предположений Cov (Yy и) и Var (Y) стремятся к своим аналогам в генеральной совокупности pop. cov (Y, и) и pop. var (У), и отношение Cov (Y, w)/Var (У) будет стремиться к oYu/a2Y. Используя (11.3), можно представить qyu как

1-Р 1-І

сУи = pop.cov" а

= pop. cov j^-L , wj + pop.c°vjjTp >w|. (11.71)

Слагаемое oc/(l — p) исчезает, поскольку это константа. Нет причин предполагать, что объем инвестиций коррелирует со случайной составляющей потребления, поэтому с достаточным основанием можно полагать, что pop. cov (I, и) = 0. В итоге мы имеем:

" 1 1 2

оУи = pop.covj — = ^aj. (11.72)

Далее, если Var (/) на больших выборках стремится к своему пределу о2р то, снова убирая слагаемое ос/(1 — р) как константу и предполагая pop. cov (/, и) = 0, мы получим:

1-р 1-р 1-р

1

2 { a I и

ojr = pop.vaH —— + —— +

[pop.var(/) + pop.var(w)+ 2pop.cov(/,w)] =

1 (°/+<т2). (11.73)

(1-Р)2

(1-Р)

В итоге на больших выборках

_1_^2_2,' (11.74)

(1-Р)2

что можно упростить до выражения (11.4).