3.3. общая постановка модели фишера и загадка кузнеца в модели жизненного цикла

3.3. общая постановка модели фишера и загадка кузнеца в модели жизненного цикла

Для подробного объяснения загадки Кузнеца на основе модели жизненного цикла необходимо использовать более общую постановку модели Фишера, предполагающую, что потребитель принимает решения, считая, что проживет Т лет. Она может быть представлена следующим образом.

Предположим, что функция полезности потребителя является л;ідитивной во времени, т.е. полезность в каждый момент времени не зависит от потребления в других периодах, тогда

(3.4)

= 1

.-і'

W(C,, С2,..., Ст) = и(С{) + — + ^ + + ^ и(С,)

(1+5)

|;1С s коэффициент дисконтирования, который отражает меж-нременные предпочтения потребителя. Иначе говоря, это величина прироста к единице полезности будущего периода, которая необходима для того, чтобы компенсировать потребителю отказ от единицы текущей полезности.

Тогда задача потребителя может быть записана следующим образом:

тахн(Ср С2,..., Ст) = £ + 5)'_|" При бюджетном ограничении

Для решения задачи (3.5)—(3.6) используем метод Лагранжа.

иС Х)-У U{C,) +x(f—^ у_^_1_,тах.

Условия первого порядка:

X

= 0.

(3.7)

иСт)

(1 + 8)7"1 (1 + г)7

Из условий (3.7) следует, что для каждого периода t должно выполняться соотношение

(3.8)

и'(С,) 1+8

Если г > 8, то предельная полезность потребления периода (/— 1) будет больше предельной полезности потребления в период /. С учетом свойства убывающей предельной полезности это означает, что величина потребления периода (/ 1) менше потребления периода /: С,._, < С, .Другими слонами, если доход от единицы сбережений (ставка процента /■) больше платы за отказ от потребления (коэффициент дисконтирования 8), то потребление во времени растет.

Если же, наоборот, г< 8, то потребление во времени падает.

Пр*и равенстве ставки процента и коэффициента дисконтирования потребление во времени постоянно.

Именно последний случай взят за основу в модели жизненного цикла. Ее интерпретацию с помощью модели межвременного выбора И.Фишера можно представить следующим образом.

у;

С, +

Пусть потребитель предполагает прожить еще Глет и R из них проработать. Пусть для него г = 8, т.е. он предпочитает одинаковое потребление во времени. Пусть в каждом периоде его текущий доход представляет собой сумму трудового дохода (К7) и дохода от активов (УА). Тогда межвременное бюджетное ограничение будет иметь вид:

= Y, +

(+г)т+ г

с

где У.

Y = Y

Yr = Y;

yL у А 1 I ^ 1 1 :

+ г (+гу

Y =YL+YA

R R R '

т

Л R yL Т

Так как С, = С2 — ... = СТ— С, то СІ 1 + — + ....+

+ г (1 + Г) ) /=1 (1 + /-) ,=1 (1 + г)

Предполагается, что рынок капитала функционирует эффективно, т.е. приведенная стоимость доходов, полученных от акти( Т у А

, равна текущей стоимости активов W. Если понов

v ,=.(! + /■)' у

+ ИЛ (3.10)

СУ —г =YL У|Zr(l+r)''J zгребитель ожидает, что его трудовой доход не изменяется во времени, т.е. Yf = Y2L ... = YL, то из (3.9) следует, что

т 1 Ї

— Y >

0 + 0 у

Если обозначить за у7 сумму конечной геометрической прогрессии, стоящей слева в скобках, а за yR сумму конечной геометрической прогрессии, стоящей в скобках справа, то получим:

C = aJV + $YL,

где (3 — предельная склонность к потреблению по трудовому доY

ходу, 3 = —, а а — предельная склонность к потреблению по наУт

копленному богатству, а = —.

Yr

Полученная зависимость будет справедлива и для совокупного потребления.

Среднюю склонность к потреблению АРС тогда можно представить в виде:

С W Y'

АРС = = а— + 3 —, у у Y

Y1

где -р— доля трудового дохода в текущем доходе; W

— — отношение стоимости активов (капитала) к доходу.

В долгосрочном аспекте в экономике с постоянной отдачей от масштаба доля трудового дохода в текущем доходе, как и отношение капитал/доход, постоянны (это следует, например, из модели Солоу, которую будем изучать в дальнейшем). Поэтому средняя склонность к потреблению — величина постоянная.

В краткосрочном периоде рост дохода происходит примерно пропорционально росту трудового дохода, однако не сразу вызывает адекватное изменение капитала, поэтому средняя склонность к потреблению падает.

Модель Модильяни подчеркивает зависимость совокупного потребления от демографического состава населения и экономического роста. Согласно ей в экономике, где население не меняется и нет экономического роста, национальные сбережения приближаются к нулю, так как сбережения молодых полностью компенсируются тратами пожилых. При растущем населении сбережения молодых превышают траты пожилых и национальные сбережения положительны. В растущей экономике доходы молодых выше, чем были у пожилых в молодости, поэтому сбережения молодых больше трат пожилых и, следовательно, национальные сбережения положительны.

С другой стороны, политика правительства по улучшению социального обеспечения может привести к сокращению сбережений молодых и уменьшить национальные сбережения.

К недостатку модели Модильяни следует отнести то, что с ее точки зрения любое увеличение текущего трудового дохода вызывает пропорциональный росі потребления (АС ~ аАУ). Однако если увеличение дохода носит временный характер (например, рост располагаемого дохода в результате временного снижения налогов), то маловероятно, чтобы потребление изменилось так же сильно, как и в случае постоянного роста дохода. Этот недостаток преодолевается в модели Фридмана.