12.2. модель солоу

12.2. модель солоу

Модель экономического роста Солоу является необходимой отправной точкой практически всех исследований экономического роста. С ее помощью выявляются причины временного и постоянного устойчивого роста экономики и существование меж-страновых различий в уровне жизни населения.

В модели рассматриваются четыре переменные: выпуск У, капитал К, труд L и эффективность труда одного работника Е, зависящая от состояния его здоровья, образования и квалификации. Переменная Е отражает уровень «знаний», накопленных в обществе, или трудосберегающий тип научно-технического прогресса, под влиянием которого повышается эффективность труда одного работника.

Выпуск Y может изменяться во времени только при изменении во времени факторов производства: К, L, Е. Изменение численности работников и эффективности труда Е всегда рассматриваются совместно: в каждый момент времени в экономике насчитывается L работников с возросшей эффективностью труда или возросшеечисло работников с постоянной (начальной) эффективностью труда (LE). Таким образом, выпуск описывается производственной функцией Y= F(K, LE).

Относительно производственной функции кроме обычных свойств предполагается:

несущественность влияния других факторов производства, в частности земли и природных ресурсов;

постоянная отдача от масштаба. Экономически такая предпосылка соответствует достаточно большой экономике, для которой выигрыш от специализации себя исчерпал, и поэтому новые факторы производства используются тем же технологическим способом, что и уже существующие.

Последнее предположение позволяет перейти к производственной функции в интенсивной форме — в расчете на единицу труда с постоянной эффективностью:

b = F(-fE<x}--TEF(K>LE) 

Обозначим к = уровень капиталовооруженности одного LE

у

работника с постоянной эффективностью труда; у = — проLE

изводительность труда одного работника с постоянной эффективностью труда. Получим зависимость производительности труда от уровня капиталовооруженности у = f{k).

Таким образом, выпуск в расчете на единицу труда с постоянной эффективностью зависит только от уровня капиталовооруженности и не зависит от масштаба экономики. Очевидно, что для этой функции также выполняются условия fk) > Q;f"(k) < 0; ДО) = 0.

Наиболее часто в иллюстративных целях и для практических расчетов используется конкретный пример производственной функции — функция Кобба—Дугласа:

Е(К, LE) = Ka{LE)[ а; 0<а<1.

12.2.1. Описание модели

В модели предполагается, что выпуск в экономике расходуется на потребление и инвестиции, государство отсутствует, экономика закрытая, так что основное тождество национальных счетов имеет вид у = с + і, где с, / соответственно потребление и инвестиции на единицу труда с неизменной эффективностью.

Считается, что все, что сберегается, инвестируется, т.е. инвестиции равны сбережениям. Одна единица инвестиций превращается без дополнительных издержек в одну единицу нового капитала. Лаг отсутствует. Сбережения пропорциональны доходу. Норма сбережения s задается экзогенно и постоянна во времени (0 < 5 < 1). Таким образом, / = sy = s/[k).

Понятия «население» и «рабочая сила» совпадают.

Существующий капитал изнашивается с нормой 8 в год. Тогда изменение запаса капитала АК определяется разностью общей величины инвестиций sYn износа капитала 5А", т.е. ДА' = sYSK.

В расчете на единицу труда с постоянной эффективностью уровень капиталовооруженности изменится на

Ak=A(X-) = ^--X-T[E.AL+L.AE} = {LE) LE [LEf

AK KAL К AE ,/7Ч , , іШ

-TE~^Tr-EL^ = sf(k)-(n + g + &)k'

AL A£ где n = — — темп роста численности населения, g = —— — темп L Е

роста технологического прогресса.

Ak = sf(k)-(n + g + 5)k. (12.9)

Соотношение (12.9) является ключевым в модели. Оно утверждает, что величина изменения уровня капиталовооруженности одного работника с постоянной эффективностью труда определяется соотношением двух величин в расчете на одного работника — инвестиций sjk), фактически произведенных в экономике, и величины инвестиций, необходимых для того, чтобы сохранять достигнутый уровень к в условиях роста населения с темпом п, роста эффективности труда с темпом g и выбытием капитала с нормой 5 (вычитаемое в правой части (12.9)).

Таким образом, в экономике уровень капиталовооруженности к падает, если фактические инвестиции меньше, чем необходимые для сохранения уровня к, и возрастает, если s(J[k)) > (п + g + S)k.

Вводится понятие устойчивого стационарного уровня к при котором капиталовооруженность перестает меняться ДА:* = О, ід величины фактических и необходимых инвестиций совпадаю і (см. рис. 12.2):

sAk*) = (n + g + 6)k В устойчивом состоянии к* неизменно, постоянна и производи тельность труда работника с постоянной эффективностью у* = /(к ') Общий объем производства Y*= y(LE) растет с темпом (п + g), а

Y'

производительность труда — = у Е растет с темпом g, так же каї

К" к (LF)

и уровень капиталовооруженности труда — = — = к*Е.

L L

Более подробная характеристика устойчивого состояния экс номики приведена в табл. 12.1.

Из табл. 12.1 видно, что рост производительности труда в устойчивом состоянии определяется исключительно темпом роста технологического прогресса.

В отсутствие технологического прогресса (т.е. при неизменной эффективности труда) для экономики с растущим населением в устойчивом состоянии уровень капиталовооруженности остается постоянным, производительность труда не меняется, общий выпуск и общий запас капитала растут с темпом, равным темпу роста населения п.

Если же отсутствуют и рост населения, и технологический прогресс, то в устойчивом состоянии при постоянном уровне капиталовооруженности производительность труда, общий выпуск и общий запас капитала остаются неизменными.

Таблица 12.1

Таким образом, причинами, определяющими рост общего выпуска и общего запаса капитала в устойчивом состоянии, являются увеличение численности населения и технологический прогресс, а устойчивый рост производительности труда и капитало

вооруженности достигается только при наличии технологического прогресса.

Изменение численности населения влияет на величину устойчивого уровня капиталовооруженности, но не влияет на темпы роста производительности труда и капиталовооруженности в устойчивом состоянии.

Изменение запаса капитала в результате роста инвестиций ведет к росту выпуска на душу населения только в период перехода к устойчивому состоянию. После достижения этого состояния рост определяется научно-техническим прогрессом.

12.2.2. Влияние изменения нормы сбережения

к ' *• к'г к

Предположим, что экономика находится в устойчивом состоянии, характеризующемся устойчивым уровнем капиталовооруженности к и соответствующей нормой сбережения 5, (рис. 12.3). Пусть под влиянием внешних изменений произошло возрастание нормы сбережения до s2. Это приведет к увеличению устойчивого уровня капиталовооруженности до к*2, так как инвестиции при к окажутся выше необходимых для поддержания к на прежнем уровне, и капиталовооруженность начнет расти, пока не достигнет к.

у

Производительность труда — = Е/(к) будет расти в связи с ростом к и с ростом эффективности труда Е. Поэтому в переходный период темп роста производительности труда превысит g. Как только к достигнет к*2, темп роста производительности труда упадет до g. Таким образом, увеличение нормы сбережения приведет к временному увеличению темпа роста производительности труда. Это изменение влияет на уровень капиталовооруженности и производительности, а не на темпы их роста в устойчивом состоянии.

12.2.3. Сравнение устойчивых состояний. Золотое правило

Благосостояние населения зависит не только от величины общего дохода, но и от его распределения на потребление и инвестиции. Обычно под благосостоянием понимается потребление на душу населения. Увеличение нормы сбережения s увеличивает капиталовооруженность к* и выпуск, но его влияние на потребление с может быть двояким. Поэтому возникает вопрос: при каком уровне к* достигается максимум потребления?

Другими словами, ищется

max c[/c(s)]

при условии

c[k(S)} = о s)y = леді -Леді = лед] -("+<?+§)едОтсюда

^ = [fk(s))-(n + g + S)f-l. ds ds

Возрастание нормы сбережения s увеличивает устойчивый уровень капиталовооруженности к. Влияние же на величину потребления зависит от того, превысит ли предельная производительность капитала f'(k) величину (п + g + 5). Увеличение уровня капиталовооруженности на единицу увеличивает величину инвестиций, необходимых для того, чтобы капиталовооруженность сохранилась на новом, более высоком уровне, на (п + g + 5). Если предельная производительность капитала меньше величины (п + g +5), то прирост общего выпуска недостаточен для поддержания к на новом устойчивом уровне и, следовательно, потребление должно упасть, хотя экономика достигнет нового устойчивого состояния с более высоким к*. Если же предельная производительность капитала больше чем (п + g + 6), то прирост общего выпуска превышает объем необходимых инвестиций, так что увеличиваются и инвестиции, и потребление. Если же f к) = (п + g + 8), то это означает, что достигается максимально возможное потребление из всех возможных устойчивых состояний.

Устойчивый уровень капиталовооруженности, при котором достигается максимально возможное потребление на душу населения, называется уровнем, соответствующим Золотому правилу накопления. Золотое правило накопления состоит в выборе нормы сбережений s, обеспечивающей достижение именно этого (оптимального) устойчивого состояния.

Геометрически это означает, что график .Д/:) и линия (п + g + 8)А имеют одинаковые наклоны в соответствующей точке к" (см. рис. 12.4).

Переход к устойчивому состоянию, соответствующему Золотому правилу

Проанализируем развитие экономики, которая осуществляет переход от первоначального устойчивого состояния, не соответствующего Золотому правилу, к устойчивому состоянию с максимально возможным потреблением.

Случай 1. Первоначальный устойчивый уровень капиталовооруженности превышает уровень по Золотому правилу В этом случае проводится политика, направленная на снижение нормы сбережения до уровня, соответствующего Золотому правилу. Пусть происходит одномоментное снижение нормы сбережения. В этот момент резко вырастет потребление с, а инвестиции / упадут.

Экономика выходит из устойчивого состояния, так как фактические инвестиции / становятся меньше, чем необходимые для поддержания к на постоянном уровне. Поэтому к, а за ним и выпуск падают до тех пор, пока не достигнут нового устойчивого состояния. Инвестиции и потребление также начинают падать, однако в новом устойчивом состоянии их уровень соответствует Золотому правилу. Поэтому потребление в новом устойчивом состоянии установится на уровне, более высоком, чем первоначальный (см. рис. 12.5).

•Норма сбережений, соответствующая Золотому правилу, определяется из следующих условий:

sfk) = (п + g + 8)к, (12.10)

Дк) = (n+g + 5). (12.11) Из (12.10), (12.11) следует, что sfik) = Дк)к. к

Откуда s = fk) , т.е. норма сбережений, обеспечиваюf(k)

щая достижение устойчивого состояния по Золотому правилу, совпадает с эластичностью выпуска по капиталу при уровне капиталовооруженности к**.

Если выпуск в экономике описывается производственной функцией Кобба—Дугласа Y = AKaLla, (0 < а < 1), то оптимальная норма накопления, соответствующая Золотому правилу, s = а.

Случай 2. Первоначальный устойчивый уровень капиталовооруженности меньше значения, соответствующего Золотому правилу

В этом случае проводится политика, направленная на повышение нормы сбережения, что влечет за собой увеличение выпуска и объема потребления в будущем. Однако в настоящем увеличение нормы сбережения приводит к падению потребления и соответствующему рос ту инвестиций. Фактические инвестиции начнут превышать величину, необходимую для поддержания к на новом уровне. Поэтому и потребление, и накопление будут постепенно возрастать, пока не достигнут нового устойчивого уровня (см. рис. 12.6).

Описанный случай показывает, что если начальное устойчивое состояние ниже уровня Золотого правила, то переход к новому, более высокому уровню сопровождается первоначально падением благосостояния населения, которое еще некоторое время будеї оставаться ниже, чем раньше. Отношение населения к такому ва рианту развития зависит от характера его межвременных предпоч тений, от того, насколько для него сегодняшнее потребление предпочтительнее будущего.

Если правительство, несмотря на издержки переходного пе риода, все же решает проводить политику, направленную на по вышение нормы сбережения, то оно может достичь этого двумя путями: либо увеличением государственных сбережений, либо по

ощрением частных. Увеличение государственных сбережений осуществляется за счет снижения бюджетного дефицита или увеличения профицита (снижения государственных закупок или увеличения налоговых сборов). Поощрение частных сбережений возможно за счет таких мер, как снижение налога на процентные доходы, введение инвестиционного налогового кредита, переход от распределительной пенсионной системы к накопительной или смешанной схеме.

12.2.4. Расчет источников экономического роста. Остаток Солоу

Для оценки вклада факторов производства в экономический рост в 1957 г. Р.Солоу было предложено использовать производственную функцию с постоянной отдачей от масштаба вида Y = AF(K, L), где А отражает уровень развития технологии. Повышение уровня технологических знаний приводит к увеличению предельных производительностей труда и капитала и поэтому часто интерпретируются как повышение совокупной производительности факторов производства.

Тогда прирост выпуска A Y определяется изменениями факторов производства К, L, А.

AY = МРК ■ АК + MPL ■ AL + F(K, L) АЛ, (12.12)

где МРК, MPL — предельные производительности капитала и труда;

АК, AL, АА — изменения в величинах факторов производства и уровне технологии.

Из (12.12) путем преобразования можно получить:

AY МРК К АК MPL L AL АА /1011Ч

= + + —. (12.13)

Y Y К Y L А

Соотношение (12.13) означает, что темп прироста продукции AY

-рравен сумме трех слагаемых:

АК

1) темпа прироста капитала ——, умноженного на долю капиК

тала в общем доходе;

AL

темпа прироста труда —, умноженного на долю труда в общем доходе;

темпа прироста совокупной производительности факторов АА

А '

MPL L MP К К

Отношения — и — могут рассматриваться как

доли дохода на труд и капитал в предположении, что в условиях совершенной конкуренции труд и капитал оплачиваются по своим предельным производительностям.

Если для оценки источников экономического роста в качестве производственной функции с постоянной отдачей от масштаба используют функцию Кобба—Дугласа Y = AKaLla,(0 < а < 1), то соотношение (12.13) можно переписать в виде:

AY АК п 4AZ АА /пм.

= а + (1-а) — + —, (12. 4

Y К L A V

где а отражает эластичность выпуска по капиталу и является постоянной для данной производственной функции.

Используя статистические данные, можно подсчитать вклад труда и капитала в экономический рост. Оценка же вклада научно-технического прогресса в экономический рост не может быть проведена непосредственно и обычно вычисляется как остаточный член уравнения (12.14) (так называемый остаток Солоу):

АА AY АК . AL

— = а (1 — ос) —. (12.15)

A Y К L

Поэтому, строго говоря, остаток Солоу (12.15) определяет не вклад научно-технического прогресса в экономический рост, а ту часть экономического роста, которая не поддается непосредственным измерениям (объясняется любыми причинами, за исключением изменений количества используемых труда и капитала).