3.4. числовые ряды

3.4. числовые ряды: Математика для социологов и экономистов, Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов, 2004 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон В пособии изложены основы математического анализа, математической логики, дифференциальных и разностных уравнений, сопровождаемые большим количеством примеров и задач. В конце каждой темы приведены соответствующие применения пакета символьных вычислений.

3.4. числовые ряды

Путем деления всякую обыкновенную дробь можно преобразовать в периодическую десятичную дробь. Дробь 1/3 можно представить в виде следующей бесконечной периодической дроби:

0,333....

Запишем ее иначе:

1/3 = 0,333... = — + — + — + ... . (3.6)

1 ' 10 100 1000 v ;

Это представление называется представлением числа 1/3 в виде ряда. Записанное равенство не означает, разумеется, что мы складываем бесконечно много чисел и в результате получаем 1/3. Бесконечное число суммирований нельзя произвести. Речь идет о том, что 1/3 является числом, от которого сумма отличается сколь угодно мало, если сложить достаточно много членов.

Поставим теперь обратный вопрос: для всякой ли периодической десятичной дроби (соответствующего ряда) найдется обыкновенная дробь, которая в нее преобразуется? Ответ на этот вопрос положителен. Для доказательства достаточно использовать бесконечную геометрическую прогрессию.

Напомним некоторые сведения о геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия. Геометрической прогрессией называется последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число q. Число q называется знаменателем геометрической прогрессии.

Общий (n-й) член последовательности определяется по формуле

bn = b1-qnгде Ь — первый член прогрессии, a q — ее знаменатель.

Как найти сумму первых п членов прогрессии? Если q = О, то сумма первых п членов Sn = b. Если q = 1, то очевидно, что Sn — Ь + ... + b = п • Ь. Предположим теперь, что q ф 0 и q ф 1. Тогда

Sn = 61 + &i q + ■ + bx qn~l = 6i (l + q + q2 + ...qn~l) .

Умножим обе части полученного равенства на q: qSn = b1 (q + q2 + q3 + ...qn) . Вычитая первое равенство из второго, получаем

(q-l)Sn = qSn-Sn = h (-1+ <?").

Поскольку q ф 1, то разделив обе части последнего равенства на (q — 1), получим сумму первых п членов геометрической прогрессии:

ап 1

sn = b,.q- ±

Вернемся опять к бесконечным периодическим десятичным дробям, о которых шла речь выше, и рассмотрим дробь 0,333..., а также последовательность

Si = 0,3, S2 = 0,33, Sn = 0,33...3.

Это можно записать иначе:

Sl = To> S2 = To + W' -' Sn = To + W + + WSn является суммой первых п членов геометрической прогрессии, первый член которой Ь = —, а знаменатель q = —. Используя формулу для суммы п членов геометрической прогрессии, получаем:

_ То j1 ~ ltbQ _ 1 ( Т_

Ьп~ 1-і ~ 3 ^ ю 

Отсюда S = lim Sn =

п—>оо 3

В результате мы преобразовали бесконечную десятичную дробь в обыкновенную.

Рассмотрим теперь в более общем виде последовательность {Sn} частичных сумм геометрического ряда

оо

br + b2 + ... + Ьп + ... =

к=1

получаемого из геометрической прогрессии, когда q ф 1.

1-q 1-q 1-q Если q < 1, то qn —> 0 при п —> оо, поэтому

S = lim Sn = ^ ^1 , если Ы < 1.

n—too 1 — q

При других значениях g последовательность {Sn} не сходится.

Будем говорить, что бесконечный геометрический ряд сходится, если q < 1 и его сумма

S = lim Sn = ^

п—>оо 1 — q

Таким образом, под суммой бесконечного геометрического ряда мы понимаем предел последовательности его частичных сумм.

Пример геометрического ряда подводит нас к общему понятию числового ряда.

Определение. Бесконечным числовым рядом или просто числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел и, U2, ..., ип, ..., чисто формально соединенных знаком плюс:

ui + и2 + ... + ип + ... = ^2

п=1

Числа г^і, U2-) ..., ип, ... называются членами ряда, а член ип — общим или п-м членом ряда.

оо

Обозначение ^ ип читается как «сумма ип, где п изменяется

п=1

от 1 до оо». Часто это обозначение читают еще короче «сумма ип от 1 до оо».

Рассмотрим суммы конечного числа членов ряда:

Si = 1/1, ^2 = ^1 + ^2, ••• , Sn = U1+U2 + +ип.

Сумма п первых членов ряда Sn называется п-й частичной суммой ряда.

При п —> оо возможны два случая.

I. При неограниченном возрастании номера п сумма п первых членов Sn стремится к конечному пределу S :

lim Sn = S.

п—>оо

Тогда говорят, что ряд сходится и число S называется суммой этого ряда.

П. При неограниченном возрастании номера п сумма п первых членов Sn возрастает неограниченно или вообще не стремится ни к какому пределу. Тогда говорят, что ряд расходится и суммы не имеет.

Определение. Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм — этот предел называется суммой ряда; в противном случае ряд называется расходящимся.

Таким образом, сумма бесконечного ряда получается не в результате суммирования всех членов, а как предел последовательности частичных сумм ряда. Понимание суммы ряда как суммирования всех его членов приводит к недоразумениям. Например, что считать суммой ряда

1-1 + 1-1 + ...?

Многие скажут, что суммой ряда следует считать 0, поскольку члены ряда можно сгруппировать так:

(1-1) +(1-1) +(1-1) + ... =0 + 0 + 0 + ... = 0.

Но другие возразят, что группировать можно и по другому — не начиная с первого члена, а начиная со второго, то есть так:

1 +(-1 + 1)+ (-! + !) + ... = 1 + 0 + 0+... = 1.

Между тем, и те и другие не правы. Этот ряд расходится, поскольку последовательность частичных сумм не имеет предела:

£і = 1, £2 = 1-1 = 0, S3 = 1-1 + 1 = 1, ....

Только понимание суммы ряда как предела частичных сумм позволяет избежать многих недоразумений и парадоксов.

Математика для социологов и экономистов

Математика для социологов и экономистов

Обсуждение Математика для социологов и экономистов

Комментарии, рецензии и отзывы

3.4. числовые ряды: Математика для социологов и экономистов, Азама&#769;т Мухта&#769;рович Ахтя&#769;мов, 2004 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон В пособии изложены основы математического анализа, математической логики, дифференциальных и разностных уравнений, сопровождаемые большим количеством примеров и задач. В конце каждой темы приведены соответствующие применения пакета символьных вычислений.