Глава 4 предел функции и непрерывность

Глава 4 предел функции и непрерывность

4 х2 1

V Пример 1. Функцию у = f(x) = — — определена во

АХ -L

всех точках, кроме х = -. Найти предел функции при х —> 6.

4 • б2 1

Решение. Возьмем а = 6. Тогда /(6) = —-—— = 13. По

мере приближения любой последовательности {хп} к 6, числитель 4 ж2 — 1 стремится к 143, знаменатель — к 11. Вся дробь стре-143

мится к -jTj= 13. Число 13 (равное значению функции при х = 6) есть вместе с тем предел функции при х —> 6:

4 ж2 1

lim ±£ і = із. А

ж-^6 2х 1

V Пример 2. Рассмотрим ту же функцию f(x) =

4ж2-1 21 '

Найти предел этой функции при х а = -.

Решение. Функция /(ж) в точке а = і не определена (формула дает неопределенное выражение jj ). Но предел функции при ж —>> существует. Он равен двум.

4 х2 1

Действительно, выражение /(ж) = — — неопределено

АХ -L

только при ж, равном -, но при приближении членов любой

последовательности {хп} к і, выражение 2хп — 1 отлично от

4 ж2 1

нуля. Поэтому, разделив числитель дроби -—-—на отличный

^ \%п 1

от нуля знаменатель, получим 2хп + 1. А последнее выражение стремится к числу 2. Следовательно,

lim = 2. А

*А 2х~1

V Пример 3. Доказать, что функция f(x) = sin — не имеет предела при х —> 0.

Решение. Рассмотрим последовательность {хп}, где хп =

= —■ -. Ясно, что хп ф О, lim хп — 0. Построим по7Г/2 + 7Г(п + 1) П^ + ОО

СЛЄДОВаТЄЛЬНОСТЬ {уп}, ГДЄ уп = Sin 1/хп = sin(7r/2 + 7Г (п + 1)).

Последовательность уп совпадает с последовательностью

-і, і, -і, і, -і,

которая, как мы знаем, расходится. Отсюда следует, что функция f(x) = sin — не имеет предела. А

Существует другое определение предела функции, в котором не используется понятие предела последовательности.

Определение 2. Число b называется пределом функции f(x) при х а (или в точке х = а), если для любого є > 0 существует такое S > 0, что при всех ж, удовлетворяющих условию 0 < < х — а < 6 выполняется неравенство f(x) — b < є.

С помощью логических символов определение можно записать в следующем виде:

(6=lim/(,)) *

(Ує>0 3£ = £(є)>0 Ух фа: х а < 6 f(x)-b\<e).

Рассмотрим геометрический смысл предела функции в точке. Построим график функции у = f(x), точки х = а, у = Ь. Выберем є > 0 и построим прямые у = b + є, у = b — є. Число b является пределом функции f(x) в точке х = а, если найдется ^-окрестность точки а такая, что часть графика функции /(ж), для которой х Є (а — 5, а) U (а, а + 5), попадает внутрь полосы, ограниченной прямыми у = Ь — є и у = b + е.

Определения 1 и 2 эквивалентны. Первое определение предела функции основано на понятии числовой последовательности, и его называют определением на языке последовательностей или определением по Гейне. Второе определение носит название определение на языке е-8 или определение по Коши. К достоинству определения 1 можно отнести возможность доказательства того, что функция в точке не имеет предела (пример 3). Недостаток состоит в том, что для доказательства существования предела в точке надо перебирать теоретически бесконечно много последовательностей {хп}. Поэтому нельзя дать строго доказательства

4-2. Бесконечно большая величина

59

существования предела. В этом смысле определение 2 предпочтительнее.

ГЕЙНЕ (Heine) Генрих Эдуард (1821-1881), немецкий математик, чл.-корр. Берлинской Академии наук. Работал в университетах в Бонне и Галле. Основные труды по теории множеств, математической физике.

КОШИ (Cauchy) Огюстен Луи (1789-1857), французский математик, член Парижской Академии наук. Работал инженером в Шербуре, преподавал в Политехнической школе, Колеж де Франс и в Парижском университете (отказывался от должности в университете до тех пор, пока не была отменена присяга в лояльности правительству). Оставил свой след во многих областях математики. Его курсы анализа, основанные на систематическом использовании понятия предела, послужили образцом для большинства курсов позднейшего времени. В них он дал определение понятия непрерывности функции, четкое определение сходящихся рядов, определение интеграла как предела суммы и др.

Пределом постоянной величины b называется сама величина Ь.

Это определение вводится для того, чтобы основные теоремы о пределах были верны во всех случаях без исключения. Оно согласуется с определениями 1 и 2 (величина |6 — 6| = 0 меньше любого положительного числа є).

V Пример 4. Доказать, что lim (2 х + 1) = 3.

Решение. Неравенство |(2 х + 1) — 3| < є эквивалентно неравенству 2(х — 1)| < є или х — 1| < є/2. Таким образом, для любого є > О можно взять S = є/2, тогда для всех х таких, что х — 1| < будет справедливо неравенство (2х + 1) — 3| = = |2 (х — 1)| < є. Это и означает, что

lim (2 ж+ 1) = 3. А