4.3. расширение понятия предела

4.3. расширение понятия предела

В этом параграфе будут введены понятия бесконечного и одностороннего предела, которые являются обобщением понятия предела в смысле определений предыдущего параграфа.

1. Бесконечные пределы. Если переменная величина у бесконечно велика, то говорят, что у стремится к бесконечности и пишут

у —> оо или lim у = ос. (4.1)

Если бесконечно большая величина у для достаточно больших значений у является положительной, то говорят, что она стремится к плюс бесконечности. Это обозначают так:

у —)> +оо или lim у = +оо.

Если бесконечно большая величина у для достаточно больших значений |у| является отрицательной, то говорят, что она стремится к минус бесконечности и пишут:

у —)> —оо или Пш у = —оо.

Вместо записи (4.1) для большей выразительности иногда пишут:

у —)> ±оо или lim у = ±оо.

7Г

величина при х —> —. Говорят, что функция у = tgx имеет бесV Пример 1. Функция у = tgx есть бесконечно большая ичина при х —> конечный предел:

lim tg х = оо.

7Г

Чтобы подчеркнуть, что функция tgx при х —> — может принимать как положительные значения ^при х < , так и отрицательные ^при х > ^, пишут:

lim tgx = ±оо. А

V Пример 2. Запись lim — = 0 означает, что когда абсолютам—>-оо х

ное значение х неограниченно возрастает, функция I стремится

x

к нулю. А

Функция f(x) называется бесконечно большой величиной при х —> оо, если абсолютное значение остается большим любого заранее данного положительного числа М, всякий раз как х больше некоторого положительного числа N (зависящего от М).

Неограниченная функция не обязательно бесконечно большая. Например, функция х sin ж является неограниченной (ее значения могут быть как угодно большими), но не бесконечно большой при х —> оо, так как с ростом х функция все время колеблется, и неравенство х smx > М не может выполняться при всех ж, для которых х > N.

V Пример 3. Можно написать:

lim ех = +оо или lim ех = оо.

х—>--ос х—>--ос

Вторая запись оставляет открытым вопрос о знаке функции ех. Но нельзя под знаком предела вместо х —> +оо написать х —> оо. Последняя запись включала бы и тот случай, когда х —> — оо, что было бы неверно, так как

lim ех =0. А

Заметим, что бесконечно большая величина не имеет предела в смысле определений предыдущего параграфа, ибо никак нельзя сказать, например, что разность между f(x) и оо остается меньшей заранее данного положительного числа. Таким образом, введение бесконечного предела расширяет понятие предела. В отличие от бесконечного предела предел, определенный ранее, называется конечным.

2. Односторонние пределы. Если любая последовательность хп а, хп < а (а — число или символ —оо) при любом п Є N, то говорят, что функция f(x) при х а (слева) имеет левый односторонний предел

6 = /(а-0)= lim J(x)= lim f(x).

x—Ya—0

x—>a

x<a

Символическая запись х —> а — О обозначает, что х принимает лишь значения, принадлежащие интервалу (с, а) с < а. Для существования одностороннего предела от функции достаточно потребовать, чтобы функция f(x) была определена лишь в интервале (с, а) с < а, т. е. левее точки а. Поэтому соответствующее значение обозначается символически f(a — 0).

Говорят, что функция f(x) при хп а (справа) имеет правый односторонний предел

6 = /(a + 0)= lim J(x)= lim /(ж),

x—Ya

x>a

если функция f(x) была определена в некотором интервале (a, d) (а — число или символ +оо), т. е. правее точки а, и любая последовательность хп а, хп > а (а — число или символ — оо) при любом п Є N.

V Пример 4. Найти пределы

lim Ы

ж->1-(Г J

И

lim Ы

ж->1+(Г J

где [x] — целая часть x. Решение.

lim [x] = lim [ж] = 1. A

Если f(x) имеет в точке a (a — число) односторонние пределы f(a — 0) и f(a + 0) и f(a — 0) = f(a + 0) = b (b — число или один из символов — оо или +оо. Тогда f(x) имеет в точке а обычный (двусторонний) предел lim = f(a) = b.

Если односторонние пределы различны, т. е. f(a — 0) ф Ф f(a + 0), то не существует и предела функции при х —> а.

В примере 4 показано, что односторонние пределы функции у = [х] не совпадают. Отсюда следует, что эта функция не имеет предела при х 1.