4.5. сравнение бесконечно малых

4.5. сравнение бесконечно малых

Пусть а(х) и /3(х) — бесконечно малые при х а. Их частное может и не быть бесконечно малым. Действительно,

если а(х) = 6х и f3(x) = 2х, то

01 { x і 6 x

lim ! = lim — = lim 3 = 3.

ж->о /3(х) ж->о 2х ж->о

Более того, предел отношения двух бесконечно малых величин является неопределенной величиной -. В зависимости от того, какие конкретные бесконечно малые рассматриваются, этот символ может быть равен произвольному числу, или символу бесконечности. Действительно, вычислим следующие пределы отношения бесконечно малых:

В первом случае предел отношения бесконечно малых равен 5, во втором — символу бесконечности, в третьем — нулю.

Поэтому частное бесконечно малых называют неопределенностью вида jj, а нахождение предела дроби называют раскрытием неопределенности.

01 { x і

Определение. Если отношение ^ ^ двух бесконечно малых

величин само бесконечно мало, то а(х) называется величиной более высокого порядка малости, чем /3(х); при этом /3(х) называется величиной более низкого порядка малости, чем а(х).

ol ( x )

Если отношение двух бесконечно малых величин стрерХ)

мится к конечному пределу, не равному нулю, то а(х) и /3(х) называются бесконечно малыми одного порядка малости. В част01 { x і

ности, если отношение ч двух бесконечно малых величин

/3(х)

стремится к 1, то а(х) и /3(х) называются эквивалентными. В этом случае пишут а(х) ~ /3(х).

З Я. М. Ахтямов

Таблица эквивалентных бесконечно малых функций.

Пусть а(х) — бесконечно малая при х —> 0. Тогда

sin а(х) ~ а(х) tga(x) ~ а(х) In (1 + а(х)) ~ а(х) 1 — cosa(x) ~ («(^)) /2

arcsin а(х) ~ а(х)

arctg а(х) ~ а(х) а<*(х) _ J _ а(ж) .ina

(1 + се(ж))р — 1 ~ ра(х).

Принцип замены эквивалентных. Если функции а(х) и (3(х) являются бесконечно малыми при х —> а и если а(х) ~ ~ 7(ж), fi{x) ~ то

V Пример. С помощью принципа замены эквивалентных вычислить пределы:

ч sin 6х

а) пш

ж->0 In (1 + Зж) 1 — cos ж

б) lim

ж-И) arctg хА

Решение.

ч sin6x 6ж _

а) Inn -— —— = lim — = 2:

ж->о In (1 + Зж) ж->о Зж

^ч 1 — cosх ж2/2 1

б) lim Т = lim —^= -. А

ж->0 arctg ж ж->0 ж 2