4.5. сравнение бесконечно малых
4.5. сравнение бесконечно малых
Пусть а(х) и /3(х) — бесконечно малые при х а. Их частное может и не быть бесконечно малым. Действительно,
если а(х) = 6х и f3(x) = 2х, то
01 { x і 6 x
lim ! = lim — = lim 3 = 3.
ж->о /3(х) ж->о 2х ж->о
Более того, предел отношения двух бесконечно малых величин является неопределенной величиной -. В зависимости от того, какие конкретные бесконечно малые рассматриваются, этот символ может быть равен произвольному числу, или символу бесконечности. Действительно, вычислим следующие пределы отношения бесконечно малых:
5 ж І1Ш — | = lim 5 | = 5, |
ж->-0 x | ж-^0 | |
lim -^т | = lim — | = оо |
ж->0 х | ж^О x | |
х2 lim — | = lim х | = 0. |
ж->-0 x | ж-^0 |
В первом случае предел отношения бесконечно малых равен 5, во втором — символу бесконечности, в третьем — нулю.
Поэтому частное бесконечно малых называют неопределенностью вида jj, а нахождение предела дроби называют раскрытием неопределенности.
01 { x і
Определение. Если отношение ^ ^ двух бесконечно малых
величин само бесконечно мало, то а(х) называется величиной более высокого порядка малости, чем /3(х); при этом /3(х) называется величиной более низкого порядка малости, чем а(х).
ol ( x )
Если отношение двух бесконечно малых величин стрерХ)
мится к конечному пределу, не равному нулю, то а(х) и /3(х) называются бесконечно малыми одного порядка малости. В част01 { x і
ности, если отношение ч двух бесконечно малых величин
/3(х)
стремится к 1, то а(х) и /3(х) называются эквивалентными. В этом случае пишут а(х) ~ /3(х).
З Я. М. Ахтямов
Таблица эквивалентных бесконечно малых функций.
Пусть а(х) — бесконечно малая при х —> 0. Тогда
sin а(х) ~ а(х) tga(x) ~ а(х) In (1 + а(х)) ~ а(х) 1 — cosa(x) ~ («(^)) /2
arcsin а(х) ~ а(х)
arctg а(х) ~ а(х) а<*(х) _ J _ а(ж) .ina
(1 + се(ж))р — 1 ~ ра(х).
Принцип замены эквивалентных. Если функции а(х) и (3(х) являются бесконечно малыми при х —> а и если а(х) ~ ~ 7(ж), fi{x) ~ то
V Пример. С помощью принципа замены эквивалентных вычислить пределы:
ч sin 6х
а) пш
ж->0 In (1 + Зж) 1 — cos ж
б) lim
ж-И) arctg хА
Решение.
ч sin6x 6ж _
а) Inn -— —— = lim — = 2:
ж->о In (1 + Зж) ж->о Зж
^ч 1 — cosх ж2/2 1
б) lim Т = lim —^= -. А
ж->0 arctg ж ж->0 ж 2
Обсуждение Математика для социологов и экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы