4.7. непрерывность функции

4.7. непрерывность функции

Пусть над столом висит на резиновой нитке груз. Под действием этого груза нитка растягивается, поэтому расстояние / груза от точки подвеса нити является функцией массы груза га, т. е. / = = /(га), т ^ 0.

Если немного изменить массу груза, то расстояние / изменится мало. Таким образом, малым изменениям га соответствуют малые изменения /. Однако если масса груза близка к пределу прочности то нити, то небольшое увеличение массы груза может вызвать разрыв нити: расстояние / скачкообразно увеличится и станет равным расстоянию от точки подвеса до поверхности стола.

График схематически изображен на рис. 4.1. Мы видим, что

на участке [0, то) этот график является непрерывной (сплошной

^ линией), а в точке то он прерывается. В

результате получается график, состоящий из двух ветвей. Говорят, что во всех точках, кроме то, функция / = f(m) непрерывна, а в точке то она имеет разрыв.

Точки непрерывности характеризуются

тем, что при малых изменениях аргумента

0 ttiq m мало меняется значение функции, а точки

рис 4 ^ разрыва — тем, что в них при малых изменениях аргумента изменения функции могут быть значительными. Данное понятие непрерывности весьма далеко от точности, оно является незавершенным, описательным. Дело в том, что использованные в этом определении слова «малое изменение» никакого математического смысла не имеют.

Пусть а — точка числовой прямой, и у = f(x) — функция, определенная при х = а. Очевидно, что если функция непрерывна, то для точек х близких к точке а, значения f(x) и f(a) также близки друг к другу. Смысл утверждения «если х близко к а, то f(x) близко к / (а)» с помощью математических символов можно записать так: «если х а, то f(x) f(a)».

Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если функция имеет конечный предел в точке а и этот предел совпадает со значением функции в этой точке, т. е.

Нт/(Ж) = /(а).

Так как lim х = а, то это равенство можно переписать в

х—^а

следующей форме:

lim fix) = f (lim x).

x^a J V ) J Ух^а )

Последнее равенство означает, что для непрерывной функции символы предела и функции можно менять местами. Это дает основание сформулировать следующее правило: Если функция f(x) непрерывна в точке а, то при вычислении предела функции при х а, надо вместо х в выражение f(x) подставить а. Полученное число и является пределом функции f(x) в точке х = а.

Определение 1 именуют определением непрерывности на языке предела.

Существует и другое определение непрерывности.

Дадим аргументу а приращение Ах = х — а. Тогда функция получит приращение Ау, определяемое как разность наращенного и исходного значения функции: Ay = f(a + Ах) — f(a) = = f(x)-f(a).

Определение 2. Функция называется непрерывной в точке а, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:

lim Ay = 0.

Дж->0

Это определение называют определением непрерывности на языке приращений. Оно эквивалентно предыдущему, поскольку фразы «если х а, то f(x) f(a)» и «если (х — а) 0, то (f(x) — / (а)) —> 0» равнозначны.

Определение 3. Функция называется непрерывной на промежутке X, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Теорема 1. Основные элементарные функции непрерывны в областях их определения.

□ Докажем для примера эту теорему для функции у = х2. Доказательство на языке пределов:

lim fix) = lim х2 = lim x • x = (lim x) • (lim x) =

ж—Yd ж—>-a x^ta x^ta x^ta

= a • a = a2 = f(a).

Здесь мы воспользовались свойством: предел произведения равен произведению пределов.

Доказательство на языке приращений:

lim Ay = lim ((а + Ах)2 а2) =

= lim (а2 + 2 а Ах + (Ах)2 а2) = lim (2 а + Ах) • (Ах) =

Дж->-0 Дж->-0

= lim (2 а + Аж) lim (Ах) = 2 а • 0 = 0. ■

Дж->0 Дж->0

В предыдущем разделе были приведены графики основных элементарных функций и их свойства. В их числе для каждой функции была указана область определения D(f). Поэтому мы можем считать, что область непрерывности для каждой основной элементарной функции нами уже указана (в нашем перечне свойств она совпадает с £)(/)).

Если мы научились находить области непрерывности основных элементарных функций, то следующий вопрос, который возникает, как находить пределы элементарных функций. С помощью основных теорем о пределах может быть доказана

Теорема 2. Все элементарные функции непрерывны в областях их определения.

Это определение дает основание сформулировать следующее правило: Если функция f(x) элементарна и точка а принадлежит области определения этой функции, то при вычислении предела функции при х а надо вместо х в выражение f(x) подставить а. Полученное число и является пределом функции f(x) в точке х = а :

Если f(x) — элементарна и а Є D(f), то lim f(x) = /(а).

Заметим, что это правило верно лишь для элементарных функций. Непрерывность функции в любой точке области определения не гарантируется для неэлементарных функций. Так, функция у = [ж], хотя и определена на всей числовой прямой, разрывна во всех целых точках. Другая неэлементарная функция, определенная на всей числовой прямой — функция Дирихле — имеет разрыв в каждой точке.

Функция называется ограниченной на отрезке [а, 6], если существует такое число М, что для всех ж Є [а, Ь] выполняется неравенство |/(ж)| ^ М.

Теорема 3 (первая теорема Вейерштрасса). Если функция f (х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 4 (вторая теорема Вейерштрасса). Если функция f (х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то она достигает на этом отрезке наименьшего значения т и наибольшего значения М.

Заметим, что среди значений, которые принимает функция f(x) в точках незамкнутого промежутка, может не быть наибольшего или наименьшего значения.

Так, в интервале (1, 3) функция у = х не обладает ни наименьшим значением, ни наибольшим (она могла бы принять эти значения на концах ж = 1 и ж = 3, но из открытого промежутка концы исключены).

ВЁЙЕРШТРАСС (Weierstra/З) Карл Теодор Вильгельм (1815-1897) — немецкий математик. Начал свою деятельность в качестве учителя средней школы. С1856 года профессор Берлинского университета. Вейерштрасс разработал систему логического обоснования математического анализа на основе построенной им теории действительных чисел. Он дал строгое доказательство основных свойств функций, непрерывных на отрезке, построил пример непрерывной функции, не имеющей производной ни в одной точке и получил ряд других результатов. Тенденция к обоснованию математики на основе чисел и требование полной строгости в значительной мере являются результатами влияния Вейерштрасса.

БОЛЬЦАНО (Bolzano) Бернард (1781-1848) — чешский математик, философ, теолог. Занимал кафедру истории религии в Пражском университете. В 1820 году был уволен за вольнодумство и лишен права публичных выступлений, после чего работал в основном в области логики и математики.

Теорема 5 (теорема Больцано—Коши). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь] и и на концах этого отрезка принимает неравные значения

f(a) = A и f{b) = B.

Тогда, каково бы ни было число С, лежащее между А и В, найдется такая точка с между а и 6, что

№ = с.

Справедливость теоремы геометрически очевидна. Поскольку функция непрерывна, график состоит из одного куска. Кривая эта соединяет точки (а, А) и (6, 5), одна из которых лежит ниже прямой у = С, а другая — выше ее. Поэтому кривая где-то должна пересекать прямую у = С. Значит, существует по крайней мере одно с, для которого а < < с < b и /(с) = С.

4.8. Точки разрыва функции

Напомним, если значение функции f(x) стремится к числу Ь по мере стремления х к а со стороны меньших значений, то число Ь называют левосторонним пределом функции f(x) в точке х = а и пишут:

lim f(x) = b или lim f(x) = b.

x—>a—0

X—Yd x<a

Если f(x) стремится к числу 62 по мере стремления х к а со стороны больших значений, то 62 называют правосторонним пределом функции f(x) в точке х = а и пишут:

lim f(x) = 62 или lim f(x) = 62ж—>-а+0

ж—>а х>а

Величина |&2 — bi называется скачком.

Левосторонний и правосторонний пределы объединяются наименованием «односторонний предел».

Рассмотрим функцию у = /(ж), определенную на интервале X, кроме, быть может, точки а Є X. Точка а называется точкой разрыва данной функции, если в ней функция определена, но не является непрерывной, или не определена в этой точке.

В зависимости от характера поведения функции в окрестности точки разрыва различают два основных видов разрывов:

1. Разрыв I рода — в этом случае существуют конечные пределы

lim f(x) и lim f(x).

х—>а—0 ж—>-а+0

2. Разрыв II рода — в этом случае хотя бы один из пределов

lim f(x) и lim f(x)

х—їа—0 ж—>-а+0

не существует или бесконечен.

V Пример. Для заданных функций найти точки разрыва и исследовать их характер:

х

б) у = З1/*;

Решение.

а) Функция определена при всех значениях ж, кроме х = 2.

Так как эта функция является элементарной, то она непрерывна

в каждой точке своей области определения. Таким образом, единственной точкой разрыва служит точка х = 2. Для исследования

характера разрыва найдем левый и правый пределы функции

при х -+ 2 :

х / 2 х / 2

І1Ш = — = —ОО, І1Ш = — = +оо.

жч2-ож-2 -0/ ж->2+ож-2 V+0/

Следовательно, функция —^—^ в точке х = 2 имеет бесконечный разрыв, т. е. ж = 3 — точка разрыва второго рода.

б) Здесь функция определена при всех значениях ж, кроме х = 0. Найдем левый и правый пределы функции при х —> 0:

lim З1/* = (З-00) = 0, lim З1/* = (3+°°) = +оо.

Так как при ж, стремящемся к нулю справа, функция имеет бесконечный предел, то х = 0 — точка разрыва второго рода.

в) В этом случае единственной точкой разрыва также является точка х = 0. Вычислим односторонние пределы функции

при х -+ 0:

lim —г= = 1, lim —г= = 0.

1 + 1 + 0 ж^+0 1 + 51/^ V+00/

Поскольку левый и правый пределы функции при X = 0 являются конечными, х = 0 — точка разрыва первого рода. А

Задача. Для заданных функций найти точки разрыва и исследовать их характер:

ч _ 1

aj У~ (х-2)(х-АУ Ответ:

а) ж = 2,ж = 4 — точки разрыва второго рода.

б) х = 1 — точка разрыва второго рода.

К неведомому я иду.

В дороге радость встречи,

Преодоление всех противоречий.

Индийское изречение