Глава 5 техника вычисления пределов 5.1. непосредственное вычисление пределов
Глава 5 техника вычисления пределов 5.1. непосредственное вычисление пределов
На протяжении всей главы считается, что функция у = f(x) элементарна.
При вычислении предела lim f(x) вначале проверяют принадлежит ли точка а области определения. Если а Є D(f), то предел равен значению функции f(x) в точке а:
lim f(x) = f(a)
(это объясняется непрерывностью элементарной функции на своей области определения).
V Пример 1. Вычислить:
а) lim (ж3 — х)]
ж—>-2
х\% _ х
б) lim —;
ж->2 х 1
в) lim cos ж.
ж->0
Решение.
а) lim (ж3 х) = 23 2 = 6;
ж—>-2
б) lim ^ = ^ = 6:
) ж^2 х — 1 2-1
в) lim cos ж = cos 0 = 1. А
7 ж->0 5.1. Непосредственное вычисление пределов 77 Правило сохраняет силу, если а = оо. Запись lim — = О,
X У ОО ОС
например, означает, что когда абсолютное значение х неограниченно возрастает, функция — стремится к нулю (это ясно из графика функции).
V Пример 2. Найти:
а) lim arctgx;
ж—Y+OC
б) lim arctgx;
x—> — оо
в) lim ех.
х—> — оо
Решение.
а) lim arctgx = +7г/2;
х—>-+оо
б) lim arctgx = — 7г/2;
ж——оо
в) lim еж = 0. А
ж—У — оо
ж2+1
^тт о тт « і- і Ж + М ~*+3"
V Пример 3. Найти lim
Решение.
ж2+1
x^i2x + lj x^i2x + lj 3J V3
При подстановке в значение функции f(a) вместо а символа бесконечности, результат может оказаться не конечным числом. Например:
lim (х — 3) = +оо — 3, lim (—3х) = (—3) • (—оо),
ж->-+оо х-У-оо
-3 -3
І1Ш = .
ж—у — оо х —ОС
Что считать ответом в этом случае?
При вычислении подобных пределов пользуются одним из следующих правил (в приводимых ниже формулах с означает число):
+оо + с = с + (+оо) = +оо + (+оо) = +оо, —оо + с = с + (—оо) = —оо + (—оо) = —оо, (+оо) с = с (+оо) = (—оо) (—с) = (—с) (—оо) = +оо, при с > О, (—оо) с = с (—оо) = (+оо) (—с) = (—с) (+оо) = —оо, при с > О, (+оо) (+оо) = (-оо) (-оо) = +оо, (+оо) (—оо) = (—оо) (+оо) = —оо,
_£= -£= о.
Приведенные формулы следуют из соображений здравого смысла. Например, первая из приведенных формул по существу утверждает, что если одна из функций становится очень большой и положительной, а другая ограничена, то сумма их становится очень большой и положительной. Те же соображения приводят и к формальному доказательству: надо только вместо «очень больших» значений говорить о «больших любого заданного числа».
Применим эти правила для вычисления пределов, которые были оставлены без вычисления:
lim (х — 3) = +оо — 3 = +оо,
ж->-+оо
lim (—3 х) = (—3) • (—оо) = +оо,
ж—> — оо
lim —= —— = 0.
Х-Ї — ОО х —оо
Соображениями здравого смысла руководствуются и при вычислении пределов от функций при х ±оо. Надо проследить по графику функции куда стремится значение функции, если аргумент стремится к ±оо.
V Пример 4. Вычислить:
а) lim 5 ;
ж^оо 4 X + 1
б) lim In ж;
ж—>-+оо
+ 00 —оо
в) lim еж.
ж—>-+оо
Решение.
а) При х —> оо знаменатель 4 ж + 1 неограниченно растет,
т.е. является величиной бесконечно большой, а обратная величина — бесконечно малой. Произведение • 5 бесконечно малой на ограниченную величину (постоянная — частный случай ограниченной величины) есть величина бесконечно малая,
и предел ее при х —> оо равен нулю. Следовательно, lim =
ж->-оо 4 X + 1
= 0.
б) lim In х = +оо.
х—Y+OC
в) lim ех = +оо.
х—>--ос
Приведенные рассуждения не являются строгими. Однако они вполне достаточны для приложений и интуитивно понятны.
с
Как уже было отмечено ранее, выражение при с ф 0 можно считать равным оо:
Выражение взято в скобки, чтобы подчеркнуть условность записи.
V Пример 5. Найти:
б) lim ctgx = lim C0SX = 1 = оо:
ж->0 ж->0 sin ж
Обсуждение Математика для социологов и экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы