Глава 5 техника вычисления пределов 5.1. непосредственное вычисление пределов

Глава 5 техника вычисления пределов 5.1. непосредственное вычисление пределов: Математика для социологов и экономистов, Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов, 2004 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон В пособии изложены основы математического анализа, математической логики, дифференциальных и разностных уравнений, сопровождаемые большим количеством примеров и задач. В конце каждой темы приведены соответствующие применения пакета символьных вычислений.

Глава 5 техника вычисления пределов 5.1. непосредственное вычисление пределов

На протяжении всей главы считается, что функция у = f(x) элементарна.

При вычислении предела lim f(x) вначале проверяют принадлежит ли точка а области определения. Если а Є D(f), то предел равен значению функции f(x) в точке а:

lim f(x) = f(a)

(это объясняется непрерывностью элементарной функции на своей области определения).

V Пример 1. Вычислить:

а) lim (ж3 — х)]

ж—>-2

х\% _ х

б) lim —;

ж->2 х 1

в) lim cos ж.

ж->0

Решение.

а) lim (ж3 х) = 23 2 = 6;

ж—>-2

б) lim ^ = ^ = 6:

) ж^2 х — 1 2-1

в) lim cos ж = cos 0 = 1. А

7 ж->0 5.1. Непосредственное вычисление пределов 77 Правило сохраняет силу, если а = оо. Запись lim — = О,

X У ОО ОС

например, означает, что когда абсолютное значение х неограниченно возрастает, функция — стремится к нулю (это ясно из графика функции).

V Пример 2. Найти:

а) lim arctgx;

ж—Y+OC

б) lim arctgx;

x—> — оо

в) lim ех.

х—> — оо

Решение.

а) lim arctgx = +7г/2;

х—>-+оо

б) lim arctgx = — 7г/2;

ж——оо

в) lim еж = 0. А

ж—У — оо

ж2+1

^тт о тт « і- і Ж + М ~*+3"

V Пример 3. Найти lim

Решение.

ж2+1

x^i2x + lj x^i2x + lj 3J V3

При подстановке в значение функции f(a) вместо а символа бесконечности, результат может оказаться не конечным числом. Например:

lim (х — 3) = +оо — 3, lim (—3х) = (—3) • (—оо),

ж->-+оо х-У-оо

-3 -3

І1Ш = .

ж—у — оо х —ОС

Что считать ответом в этом случае?

При вычислении подобных пределов пользуются одним из следующих правил (в приводимых ниже формулах с означает число):

+оо + с = с + (+оо) = +оо + (+оо) = +оо, —оо + с = с + (—оо) = —оо + (—оо) = —оо, (+оо) с = с (+оо) = (—оо) (—с) = (—с) (—оо) = +оо, при с > О, (—оо) с = с (—оо) = (+оо) (—с) = (—с) (+оо) = —оо, при с > О, (+оо) (+оо) = (-оо) (-оо) = +оо, (+оо) (—оо) = (—оо) (+оо) = —оо,

_£= -£= о.

Приведенные формулы следуют из соображений здравого смысла. Например, первая из приведенных формул по существу утверждает, что если одна из функций становится очень большой и положительной, а другая ограничена, то сумма их становится очень большой и положительной. Те же соображения приводят и к формальному доказательству: надо только вместо «очень больших» значений говорить о «больших любого заданного числа».

Применим эти правила для вычисления пределов, которые были оставлены без вычисления:

lim (х — 3) = +оо — 3 = +оо,

ж->-+оо

lim (—3 х) = (—3) • (—оо) = +оо,

ж—> — оо

lim —= —— = 0.

Х-Ї — ОО х —оо

Соображениями здравого смысла руководствуются и при вычислении пределов от функций при х ±оо. Надо проследить по графику функции куда стремится значение функции, если аргумент стремится к ±оо.

V Пример 4. Вычислить:

а) lim 5 ;

ж^оо 4 X + 1

б) lim In ж;

ж—>-+оо

+ 00 —оо

в) lim еж.

ж—>-+оо

Решение.

а) При х —> оо знаменатель 4 ж + 1 неограниченно растет,

т.е. является величиной бесконечно большой, а обратная величина — бесконечно малой. Произведение • 5 бесконечно малой на ограниченную величину (постоянная — частный случай ограниченной величины) есть величина бесконечно малая,

и предел ее при х —> оо равен нулю. Следовательно, lim =

ж->-оо 4 X + 1

= 0.

б) lim In х = +оо.

х—Y+OC

в) lim ех = +оо.

х—>--ос

Приведенные рассуждения не являются строгими. Однако они вполне достаточны для приложений и интуитивно понятны.

с

Как уже было отмечено ранее, выражение при с ф 0 можно считать равным оо:

Подпись:
с

Выражение взято в скобки, чтобы подчеркнуть условность записи.

V Пример 5. Найти:

б) lim ctgx = lim C0SX = 1 = оо:

ж->0 ж->0 sin ж

Математика для социологов и экономистов

Математика для социологов и экономистов

Обсуждение Математика для социологов и экономистов

Комментарии, рецензии и отзывы

Глава 5 техника вычисления пределов 5.1. непосредственное вычисление пределов: Математика для социологов и экономистов, Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов, 2004 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон В пособии изложены основы математического анализа, математической логики, дифференциальных и разностных уравнений, сопровождаемые большим количеством примеров и задач. В конце каждой темы приведены соответствующие применения пакета символьных вычислений.