5.2. раскрытие неопределенности вида -

5.2. раскрытие неопределенности вида -: Математика для социологов и экономистов, Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов, 2004 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон В пособии изложены основы математического анализа, математической логики, дифференциальных и разностных уравнений, сопровождаемые большим количеством примеров и задач. В конце каждой темы приведены соответствующие применения пакета символьных вычислений.

5.2. раскрытие неопределенности вида -

Имеются случаи, не охватываемые правилами из предыдущего параграфа. Не существует «общей формулы» для выражения jj. В самом деле, пусть f(x) = х2, д(х) = хп, где п —

целое число. Частное этих функций f(x)/g(x) = х2~п при х —> 0 является частным бесконечно малых. Оно может стремиться к нулю (при п = 1), или 1 (при п = 2), или оо (при п = 4). Поэтому

выражение и подобные ему называются неопределенностями. К неопределенностям относятся следующие выражения:

0

0'

00

0 • оо,

оо — оо,

л оо

оо°,

0°.

00

Как для случая неопределенности вида -, встретившейся при

сравнении бесконечно малых, здесь для раскрытия неопределенности уже недостаточно знать лишь пределы функций f(x) и д(х), а нужно учесть и закон их изменения.

Примеры раскрытия неопределенностей приведены ниже.

2 х2 — х

V Пример 1. Найти lim —^ .

ж-ю Xі 2х

Решение. Непосредственной подстановкой вместо аргумента его предельного значения вычислить предел нельзя, поскольку

о

получается неопределенность вида -.

Разложим числитель и знаменатель на множители, чтобы

сократить дробь на общий множитель, стремящийся к нулю.

Нужно иметь в виду, что здесь не производится сокращение на

нуль, что недопустимо. По определению предела функции аргумент х стремится к своему предельному значению, никогда не

принимая этого значения (вспомним, что в определении предела

по Коши ж G 0) U (0, 5)); поэтому до перехода к пределу

можно произвести сокращение на множитель, стремящийся к нулю. Имеем:

х2-х Л. х(2х-1) 2х-1 1 1

пш —^ = 11 г г і — — = 11 г г і = 11 г г і = -. А

ж-^о х 2х ж-И) х [X -2) ж^о х 2 ж^о 2 2

х2 — 5 х + 6

V Пример 2. Найти lim

ж->з Зж2-9ж

Решение. Пределы числителя и знаменателя при ж —> 3 равны нулю:

lim (х2 5 х + 6) = З2 5 • 3 + 6 = О,

~2 n ,v. о о2

Нт(ЗаГ-9 ж) = 3-3^-9-3 = 0.

Разложим квадратный трехчлен в числителе на линейные множители по формуле ах2 + Ьх + с = а(х — х) (х — #2), где х и Х2 — корни трехчлена. Разложив на множители и знаменатель, сократим на (х — 3), получим

ж2-5ж + 6 (х-3)(х-2) ж-2 3-2 1

lim ^ = пш +^ —^ = lim = = -. А

ж->з Зж -9ж ж^з Зж(ж-З) ж->з Зж 3-3 9

п тт о тт г х3 1000

V Пример 3. Найти lim —5 о •

ж-ио х3 20 х2 + 100 ж

Решение.

00.

lim ж3 1000 _ (ж-10) (ж3+ 10 ж+ 100) _

ж-ио ж3 20 ж2 + 100 ж ~~ х-ио х(х-Щ2 ~

_ х2 + 10х + 100 _ /300 _ ~~ ж ™о х [х — 10) ~~ ~0~) ~

V Пример 4. Найти lim

ж-И) V5 ж л/5 + х

Решение. Пределы числителя и знаменателя при х —> 0 равны нулю. Умножим числитель и знаменатель на сопряженный знаменателю множитель л/5 — х + л/5~+~х и затем, сократив дробь на ж, получим:

ж

х ж (л/5 — ж + л/5 + ж'

lim , , = lim

-►о л/5 ж V5 + ж ж^о (л/5 х л/5 + ж)(л/5 ж + У5 + ж)

ж (л/5 — ж + л/5 + х) л/5 — ж + л/5 + ж /= lim = Inn = —V5 .

ж->о -2 ж ж->о -2

4-х2

V Пример 5. Найти lim . .

х^2 УТТ^ 3

Решение. Когда х —> 2, числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю, получается неопределенность вида -. Желая избавится от иррациональности в знаменателе, преобразуем данное выражение:

4-х2 _ (4-x2)(VTT^ +3)

у/ТТх з (у/ТТх з) (у/ТТх + з)

_ (4 x2)(VTT^ +3) _ (2 x) (2 + x) (y/TTx + 3)

7 + x 9

= -(2 + x)(VTT^ +3).

Перейдя к пределу, получим

Подпись: 24 х

lim = lim (2 + x) (V7T^ + 3) = -4 • 6 = -24. A

В предыдущих примерах неопределенность вида — раскрывалась путем выделения в числителе и знаменателе общего множителя. Однако этот прием «срабатывает» не во всех случаях. тт sin5x

Например, в случае предела lim неясно, как выделить

х->0 X

общий множитель. Этот предел можно вычислить с помощью принципа замены эквивалентных. Вычислим этот предел другим способом — сведением к пределу

ж-И) х V0

называемому 300 лет назад первым замечательным пределом.

sin ж

Доказательство равенства lim = 1 нетрудно и опирается

х->0 X

на геометрические свойства тригонометрических функций. Здесь оно не приводится.

Заметим, что выражение взято в скобки, поскольку писать jj = 1 нельзя! Скобки в записи ^jj^ подчеркивают ее условность. Равенство (jj j =1 означает, что в данном конкретном случае неопределенность раскрыта и значение соответствующего предела равно единице.

V Пример 6. Найти lim S*n ^Х.

ж->0 х

Решение.

sin Ъх /0 т к sin Ъх „ sin Ъх „ Л „

Inn = І I = lim 5 • —— = 5 • Inn —— = 5-1 = 5. а

ж->-0 х

Математика для социологов и экономистов

Математика для социологов и экономистов

Обсуждение Математика для социологов и экономистов

Комментарии, рецензии и отзывы

5.2. раскрытие неопределенности вида -: Математика для социологов и экономистов, Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов, 2004 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон В пособии изложены основы математического анализа, математической логики, дифференциальных и разностных уравнений, сопровождаемые большим количеством примеров и задач. В конце каждой темы приведены соответствующие применения пакета символьных вычислений.