5.3. раскрытие неопределенности вида —

5.3. раскрытие неопределенности вида —

00

^ тт -і тт « г 2Ж5 + 10Ж

V Пример 1. Найти lim 5-.

Решение. При х —> оо числитель и знаменатель — величины бесконечно большие. Поэтому при непосредственной подстановке символа оо вместо х получаем выражение оо/оо, которое представляет собой неопределенность. Для вычисления предела этой функции нужно и числитель и знаменатель разделить на ж4 (наивысшую степень аргумента в знаменателе):

2ж5 + 10ж 2х + 10/х3

Inn j == I mi —-—-j— =

ж^оо §x +X x^oo 5 + 1/Ж

'2-oc + 10/oc3 /00 + О

1 — ' ' = 00.

5 + 1/00 J ъ + о

2x100 + 10x

V Пример 2. Найти lim 1ПП QQ .

Решение. При непосредственной подстановке символа оо вместо х получаем неопределенность вида оо/оо. Для вычисления предела этой функции нужно и числитель и знаменатель разделить на ж100 (наивысшую степень аргумента в знаменателе):

ж2 х100 + 10 х 2 + 10/ж" 2 + 0 2

lim ——гт^ птг = пні >оо 5ж100 + ж" ж^оо 5 + 1/ж 5 + 0 5

(при ж ^ оо слагаемые 10/ж" и 1/х — величины бесконечно малые и, следовательно, их пределы равны нулю). А

2 х10 + 10 х2

V Пример 3. Найти lim Тл

х^оо 5 х + ж

Решение.

2 ж10+ 10 ж2 /оо 2/ж + 10/ж9 0 + 0 0 .

lim Тл ^— = — = lim — = = = 0. А

ж->оо 5ЖІІ + ЖУ оо/ ж^оо 5 +1/хг 5+0 5

Вообще, предел отношения полиномов при х —> оо равен отношению коэффициентов при старших членах, если степени числителя и знаменателя одинаковы, и равен нулю или бесконечности, если степень числителя соответственно меньше или больше знаменателя.

х +1 ж+3

V Пример 4. Найти lim .

ж^+оо 2 X + 1

Решение.

2ж + 1/ ^^o2x + iy V2y

2 л/ж + 5 yfx

ш (л±1)« . (lim -±L)SS.& .(if. о.*

V Пример 5. Найти lim . „. .

x^°° /3х 2 + л/2 ж З

Решение. В подобных примерах полезно иметь в виду, что функция f(x) = ns/pn~{x) •) где Рп(х) — многочлен степени п, стремится к бесконечности так же, как и функция 1л/х™ . Это позволяет выделить высшую степень ж, входящую в данное выражение, и разделить числитель и знаменатель на эту степень х. В данном примере надо делить на у/х; тогда получим

2л/ж + 5 \[х

lim

ж->°о л/3 ж 2 + л/2

2 + 5/v^3 2 2л/3

= lim = = -р= —-—. А

ж-^ос . 3/ 3 л/Ч 3

л/3 2/х + V(2^-3)/x2 Vt5