6.4. непрерывное начисление процентов
6.4. непрерывное начисление процентов
Большую роль в социально-экономической сфере играет второй замечательный предел:
( 1 V lim 1Л— = е.
ж->-±оо у х )
ЧСм. [20, с. 136].
4 Я. М. Ахтямо]
Пусть Сбербанк выплачивает в год 2\% от суммы вклада. Если 1 января положить в банк 100 у. е. (условных денежных единиц), то в конце года на них будет начислено дополнительно 2 у. е. Но если 1 июля взять весь вклад обратно, то процентов будет начислено
не 2 у. е., а только половина этой суммы, т. е. 1 у е. Если изъять вклад 1 апреля, то процентов будет получено только 0,5 у е.
Сбербанки начисляют проценты только в конце года или при полном изъятии вклада. Поэтому вместо того, чтобы вложить 1 января 100 у. е. и истребовать их в конце года, оказывается выгоднее (считаем, что плата за оформление нового вклада существенно меньше величины вклада), например, 1 июля изъять весь вклад и вложить его снова. В самом деле, в первом случае в конце года будет получено 102 у. е. Во втором же случае 1 июля будет получено 101 у. е., но на вторую половину года будет вложен вклад не в 100 у е., а в 101 у е., на которые и будут начислены проценты. Именно 1\% от 101 составит 1,01, т. е. всего будет в конце года получено 102,01 у. е.
Еще выгоднее изымать и снова вносить вклад каждый месяц, каждую неделю, каждый день, каждый час и т. д. В действительности за дробную часть дня сбербанки процентов не начисляют. Но в математической схеме можно себе представить процесс учащения изъятий и внесений вклада беспредельным.
Согласно формуле
полученной в п. 6.2, при ежегодном приросте р \%, процент начис1 Р о/
ления за ю часть года составит — /о , а размер вклада за п лет
Таким образом, общая сумма вклада в конце года, если проценты начислялись по истечении полугода, составит
Если проценты будут начисляться поквартально, то сумма вклада в конце года составит
если ежемесячно, то
т т при т • п начислениях составит
На практике часто бывает, что какая-либо величина испытывает приращения не скачкообразно, а меняется непрерывно, и ее изменение за этап составляет р \% .
Закон изменения этой величины можно найти из представления для Ап(т), неограниченно увеличивая число т (число подэтапов).
Вычислим предельное значение величины Ап(т) при т —> оо в конце п-го этапа:
/ тп
Ап= lim А0[1 + -£—
т^оо 100 т
Таким образом, задача о непрерывном начислении процентов приводит к необходимости использования второго замечательного предела:
lim
х—>оо
1 + -) =е.
X
1 +
100 т
С помощью этого предела получаем, что Р
Ап = lim А
х—ЇОС
100 m
100
= lim
х—ЇОС
Ао1 +
Р
Поскольку количество лет п в этой формуле может быть и дробным числом, обозначим его через t. Тогда получим
A(t) = А0 е
100
Полученная формула непрерывного начисления процентов выражает показательный (экспоненциальный) закон роста (при р > 0) или убывания (при р < 0).
Погрешность вычисления суммы вклада по формуле непрерывного начисления процентов по сравнению с формулой сложных процентов, начисляемых ежегодно (т = 1), при процентной ставке р = 5\% составляет около 2,5\%.
Погрешность вычисления суммы вклада по формуле непрерывного начисления процентов по сравнению с формулой сложных процентов, начисляемых ежедневно (т = 365), при процентной ставке р = 5\% является более меньшей и составляет сотые доли процента.
Конечно, нельзя себе представить, чтобы кто-либо изымал и обратно вносил свой вклад в Сбербанк не только бесконечно часто, но даже делал это один раз в год для увеличения процентной суммы. В практических финансово-кредитных операциях непрерывное начисление процентов применяется крайне редко. Однако оно оказывается весьма эффективным при анализе сложных финансовых проблем, в частности при обосновании и выборе инвестиционных решений и при анализе инфляционных процессов.
V Пример. Пусть темп инфляции составляет 20 \% в год. Тогда реальная стоимость хранящихся дома денежных сбережений уменьшается. Насколько она уменьшится за месяц?
Решение. Применение формулы начисления непрерывных процентов дает
-20-1/12
Л(1/12) = Л0 е 100 = Л0 е"1/60 « 0,98 • Л0,
где Aq — хранящаяся дома денежная сумма.
Таким образом, инфляция за месяц уменьшит реальную стоимость денежной заначки приблизительно на 2\%. А
Полезна формула непрерывного начисления процентов и в демографии. Закон показательного роста позволяет прогнозировать изменения в составе населения, динамику роста трудоспособного населения, соотношение городского и сельского населения, текучесть рабочей силы и т. п.
Некоторые другие применения показательного закона роста будут рассмотрены также при изучении дифференциальных уравнений.
Обсуждение Математика для социологов и экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы