8.5. производная функции, заданной параметрически

8.5. производная функции, заданной параметрически

Плоские кривые часто задаются уравнениями вида х = ж(£), у = y(t), где переменная £, называемая параметром, пробегает некоторый промежуток значений Т. Чтобы построить кривую, заданную параметрически, нужно задать ряд значений параметра t по формулам х = x(t), у = y(t), вычислить соответствующие значения х и у, отметить полученные точки (ж, у) на координатной плоскости и соединить их плавной линией. Из курса геометрии известны параметрические уравнения окружности х2 + у2 =

2 2

= R и эллипса —~ Л—т = 1, которые соответственно имеют вид а Ь

(х = R cost, (X = a cost, [у = R sin £, [у = b sin t,

где t Є [0, 2тг].

Теорема 1. Пусть функции х = x(t), у = y(t) непрерывны на [се, /3], дифференцируемы в (се, /3), причем x'(t) сохраняет постоянный знак на этом интервале. Пусть далее [а, Ь] — область значений функции х = x(t). Тогда уравнения х = x(t), у = y(t) определяют непрерывную на [а, Ь] и дифференцируемую в (а, Ь) функцию у = у(х), причем

і = У ч

х Aty

□ По условию x'(t) сохраняет постоянный знак; пусть для определенности x'(t) > 0. Тогда функция x(t) монотонна и непрерывна на [се, /3]; значит, она обратима и производная обратной функции t(x) вычисляется по формуле t'(x) = 1/x'(t).

Воспользовавшись правилом дифференцирования сложной функции у = y(t(x)), получим

у'х = y't. t'x = y't ■ ± = Ш

V Пример 1. Найти производную функции, заданную параметрически: х = R cost, у = R sint, где t Є [0, 7г] (параметрические уравнения полуокружности радиуса R с центром в начале координат).

Решение.

// y'(t) (R sin tV COS t , ,

y'(x) = ^r-i = jJ-j = : = -ctgt.

y v ; x'(t) (R cost) sin* 5

Если необходимо выразить ответ с помощью переменной ж, то можно воспользоваться представлением t = t(x) = arccos (x/R):

ч cost cos (arccos (x/R))

у (ж) = ; = j =

sint sin (arccos (x/R))

x/R

y/l (x/R)2 y/R2 x2 '

Полученный ответ в точности совпадает со значением производной, найденным непосредственно из уравнения полуокружности х2 + у2 = R2 у > 0:

2 — x2

У = VR2 х2, у' = 2 Х Х

2 y/R2 ~ х2 y/RV Пример 2. Найти производную функции, заданную параметрически: х = a cost, у = b sint, где t Є [0, тг] (параметрические уравнения полуэллипса).

Решение.

// v'(t) (b sint)' b cost b , ,

y'(x) = ^4 = ^ J= :— = — ctg t.

x (t) (a cos t) a sin t a

Выразив t через ж, получим

і, ч b cost b cos (arccos (x/a))

у (x) = ;— = -ґ ——-f =

asm/; a sin (arccos (x/a))

b x

a2 y/1 (x/a)2 a ja2 _ x2 '

Полученный ответ в точности совпадает со значением производной, найденным непосредственно из уравнения полуэллипх2 у2 са — + -j = 1, где у > 0: а о

b /—z ~ / b —2х b х

2 — х2

у = л/а2 х2 , у =

а 2 л/а2 х2 а лД

В рассмотренных примерах показана связь производных функций, заданных явно и параметрически. В практических же задачах нет необходимости от представления y'{t) переходить к представлению у'{х). Параметрическое представление производной вполне достаточно. Оно позволяет строить график производной и изучить ее свойства. Заметим также, что обычное задание функции у = у(х) можно рассматривать как частный случай параметрического х = £, у = y(t).