9.4. разыскание оптимальных значений функций

9.4. разыскание оптимальных значений функций

До сих пор мы интересовались лишь локальными максимумами и минимумами функции, теперь же поставим вопрос о разыскании глобального экстремума, т. е. наибольшего или наименьшего из всех значений, которые она принимает промежутке X.

В прикладных задачах чаще всего встречается простой случай, когда в промежутке X оказывается лишь одна критическая точка xq. Если в этой точке функция имеет локальный максимум (минимум), то ясно, что это и будет наибольшее (наименьшее) значение функции в промежутке. Причем, сказанное приложимо в полной мере к любому промежутку X (к замкнутому, открытому, или же бесконечному). На этих рассуждениях основано правило.

Первое правило разыскания наибольшего или наименьшего значения: Пусть в промежутке X оказывается лишь одна критическая точка xq. Если в этой точке функция имеет локальный максимум (минимум), то это и будет наибольшее (наименьшее) значение функции в промежутке.

Особенно часто этот случай встречается в прикладных задачах на экономию.

Вот простейший пример такого рода.

V Пример 1. Требуется огородить забором участок прямоугольной формы площадью 100 кв. м.

В зависимости от размеров участка расходы материала при строительстве такого забора будут различны. Действительно, сравним общие длины (периметры) ограждений двух участков схематически изображенных на рис. 9.7.

■ ■ 1 м

100 м

5 м

20 м

Рис. 9.7. Две ограды с площадью 100 кв. м

Длина первого прямоугольного участка равна 100 м, а ширина равна 1 м. Поэтому периметр первой ограды равен

2-100 + 21 = 202 (м).

Периметр второго участка равен

2-20 + 2-5 = 50 (м).

Как видим, периметр первой ограды более чем в 4 раза больше

периметра второй ограды, хотя площади соответствующих участков одинаковы (100 кв. м). Отсюда следует, что материала на

сооружение первого забора требуется гораздо больше, чем на сооружение второго, и

10 м поэтому проект второй ограды намного экономичнее первой.

10 м Возникает вопрос: не существует ли еще

~ л о тт ^ более экономичного проекта? Методом проб

Рис. 9.8. Наиболее ' 1

можно найти такую ограду — забор, огоэкономичная ограда с площадью раживающий квадратный участок со сторо100 кв. м нами 10 м (рис. 9.8). Однако как доказать,

что более экономичного проекта среди прямоугольников не существует? Доказать это можно только хорошо зная правила отыскания экстремума.

Поставим и решим поставленную задачу в общем виде.

Задача. Найти наименьшую величину периметра Р с данной площадью S.

Решение. Обозначим стороны прямоугольника через ж, у. По условию

xy = S (9.2)

(хиу — положительные величины). Требуется найти наименьшее значение величины

Р = 2(х + у). (9.3)

Примем за аргумент х. Выразим переменную у через х из (9.2) и подставим в (9.3). Получим

Р = Р(х) = 2 + (х > 0).

Находим производную

Р'(х) = 2 (l - ) . (9.4)

Производная при всех х Є (0, +оо) существует и принимает конечные значения. Поэтому критические точки могут быть только среди стационарных. Приравняв выражение 2 ^1 —нулю,

находим х = Vs.

Используя первое правило отыскания экстремума, покажем, что точка х = л/S является точкой минимума. Из (9.4) видно, что при 0 < х < л/S производная Р'(х) отрицательна, а при х > > л/S — положительна. Значит, имеем минимум. Будучи единственным, он является наименьшим значением периметра:

Рнаим(Ж) = 2 (VS +-^L) =4VS,

т. е. из всех прямоугольников с данной площадью S наименьший периметр имеет квадрат [х = л/S , у = л/S ^ . А

Таким образом, доказано, что из всех прямоугольников с данной площадью S наименьшим периметром обладает квадрат. Однако, не следует думать, что из всех прямоугольников квадрат всегда будет оптимальной фигурой. Все зависит от постановки задачи. Ниже рассмотрен пример, показывающий, что оптимальной фигурой может оказаться вовсе не квадрат.

V Пример 2. Требуется оградить забором прямоугольный участок земли площадью 294 кв. м и затем разделить его на две равные части перегородкой. Каковы должны быть размеры участка, чтобы на постройку забора и перегородки было истрачено наименьшее количество материала?

Решение. Будем решать задачу сразу в общем виде без рассмотрения предварительных проектов. Обозначим ширину прямоугольного участка через ж, а длину через у.

Из условий задачи следует, что ж Є (0, +оо) (сторона прямоугольника неотрицательна).

Поскольку площадь участка равна 294 кв. м, то х у = S = 294. Отсюда получаем, что у = 294/ж, а общая длина Р всей ограды равна

Р(х) = 3х + 2у = Зх + 2294/ж.

Таким образом, длина всей ограды представляет собой функцию от одной переменной ж, и задача сводится к нахождению наименьшего значения этой функции в интервале (0, +оо).

Каково же наименьшее значение функции? Если в открытом интервале имеется лишь одна критическая точка, которая является точкой локального минимума, то именно она и будет наименьшим значением функции в рассматриваемом интервале.

Проверим, имеет ли функция Р(х) критические точки в интервале (0,+оо). Для нахождения критических точек следует предварительно найти производную функции. Найдем ее.

Р'(х) = (3 х + 2 • 294/ж)' = 3 2 • 294ж-2 = (3 х2 588)/х2.

В интервале (0, +оо) выражение (Зх2 — 588)/х2 всегда имеет смысл, значит, для функции Р(х) нет точек, в которых ее производная бесконечна или не существует. Проверим, не обращается ли где-нибудь производная Р'(х) в нуль. Для этого приравняем выражение (Зх2 — 588)/х2 к нулю. Дробь равна нулю, когда ее числитель обращается в нуль. Поэтому 3 х2 — 588 = 0. Последнее уравнение имеет два решения х = —14 и х = 14. Значение х = = —14 не входит в рассматриваемый интервал. Поэтому в интервале (0, +оо) у функции Р(х) имеется лишь одна критическая точка х = 14.

Проверим является ли эта критическая точка точкой минимума. Значение х = 14 входит в рассматриваемый интервал и разбивает его на два интервала (0, 14) и (14, +оо), в которых производная не меняет знак. Поэтому, выбирая в каждом из полученных интервалов произвольную точку, определяем знак производной в них. В первом интервале производная оказывается отрицательной (в этом интервале функция строго убывает), а во втором интервале производная положительна (здесь функция строго возрастает). Так как при переходе через точку х = 14 производная меняет знак с минуса на плюс, то, согласно первому правилу отыскания экстремума, функция имеет в этой точке строгий локальный минимум. Отсюда следует, что в точке х = 14

достигается наименьшее значение

І I функции Р(х) в интервале (0,+оо).

Практически же это означает, что

14 м наименьшее количество материала на

ограду участка будет истрачено при

ширине забора 14 м. Найдем длину

21 м участка, когда ширина равна 14 м:

Рис.9.9. Ограда с пере- у = 294/ж = 294/14 = 21 (м).

городкой

Таким образом, размеры ограды должны быть 21 х 14. Именно при таких размерах участка расходы строительного материала будут наименьшими. Общая

длина оптимальной (наиболее экономичной) ограды равна 2-21 + 3-14 = 42 + 42 = 84 (м).

Заметим, что ограды, огораживающие квадратный участок, или же участок, составленный из двух квадратов, не являются оптимальными.

Действительно, в случае квадрата имеем:

х = у, S = ху = х2, х = л/294 « 17,146, Р = 2 х + 3 у « 5 • 17,146 = 85,73,

т. е. общая длина ограды в этом случае больше 84 м. Для случая двух квадратов имеем:

у = 2ж, S = ху = 2х2, х = у/294/2 « 12,124, Р = 2 х + 3 у « 8 • 12,124 = 96,992.

Общая длина ограды в этом случае еще больше. А

Задача 1. Требуется огородить забором прямоугольный участок земли площадью S м2 и затем разделить его на п частей п — 1 перегородками, параллельными меньшей стороне участка. Каковы должны быть размеры участка (ширина х и длина у), чтобы на постройку забора и перегородок было израсходовано наименьшее количество материала.

Указание. Площадь S равна х у, откуда у = S/x. Подставляя это выражение для у в формулу вычисления периметра (общей длины ограды с перегородками) Р = (n + 1) • ж + 2у, получим Р(х) = (n + 1) • ж + 2S j х.

Ответ: Наименьшее значение в интервале (0, +оо) эта функция принимает в точке ж = у/2 S/ (п + 1) .

Рассмотренные выше примеры представляют задачи на нахождение наименьшего значения. Ниже рассматривается прикладная задача на отыскание наибольшего значения.

V Пример 3 (Задача Дидоны). Из имеющихся досок можно сделать забор длиной /. Как этим забором огородить прямоугольный двор наибольшей площади, используя в качестве одной стороны стену прилегающего здания (рис. 9.10)?

1-2х Рис. 9.10. Задача Дидоны

Решение. Пусть две стороны забора имеют длину х (0 < < х < 1/2); тогда третья сторона имеет длину I — 2х. Площадь двора S(x) = (I — 2 х) х = — 2 х2 + I ж, откуда S'(x) = = — 4х + /. Функция Sf(x) существует и конечна для всех х из интервала (0, //2). Поэтому единственной критической точкой в интервале (0, 1/2) является точка х = 1/4, в которой Sf(x) обращается в нуль.

Проверим является ли эта критическая точка точкой локального экстремума. Воспользуемся вторым правилом отыскания экстремума:

S"(x) = -4 < 0.

Вторая производная отрицательна (лицо грустит). Так что при х = 1/4 функция S(x) имеет локальный максимум, который и является наибольшим значением функции S(х) в интервале (0, 1/2).

Рассмотренный пример является одним из вариантов так называемой задачи Дидоны. По преданию, мифическая основательница города Карфагена в Северной Африке финикийская царица Дидона в ответ на обращенную к вождю прибрежного племени просьбу о выделении ей территории для постройки города получила издевательское согласие уступить участок земли «в пределах бычьей шкуры». Однако хитрая Дидона не просто покрыла шкурой крошечную часть побережья, как рассчитывали аборигены, а разрезав шкуру на тонкие ремни, отгородила этими ремнями довольно большой участок, который удалось сделать еще большим, воспользовавшись берегом моря. А

Итак, если функция внутри отрезка [а, Ь] имеет один максимум (минимум), то это и есть наибольшее (наименьшее) ее значение при х Є [а, Ь]. В следующем разделе, посвященном приложениям в социально-экономической сфере приводятся другие примеры и задачи на первое правило отыскания экстремума.

Если же функция не имеет экстремума внутри отрезка, как, например, линейная функция, то наибольшее (наименьшее) ее значение будет в граничных точках.

V Пример 4 (парадокс Декарта). Найти на окружности

х2 + у2 = г2 (9.5)

точку, ближайшую к точке Л (—а, 0), а > 0 (рис. (9.11).

Решение. Если М(ж, у) — произвольная точка окружности, то

АМ2 = (х + а)2 + (у-0)2,

или в силу (9.5)

|ЛМ2 = (х + а)2 + г2 х2 = 2 а х + а2 + г2.

Для разыскания минимума величины |ЛМ|2 Декарт составил уравнение, которое теперь мы пишем так:

(2ax + a2 + r2Y = 0.

Декарт нашел отсюда 2 а = 0 и посчитал, что это приводит к противоречию, ибо по условию а ф 0, и заключил, что необходимый признак минимума неверен. Между тем геометрически ясно, что искомая точка существует и совпадает с точкой Р(—г, 0). Эта точка не обнаруживается с помощью производной, поскольку наименьшее значение |ЛМ|2 не является минимумом. Действительно, х принимает значения на отрезке [а, 6], a функция |ЛМ|2 = 2 а х + а2 + г2 является линейной, поэтому принимает наименьшее значение на конце промежутка х = —г.

Кажущееся противоречие связано с неверным отождествлением понятия наименьшего значения и локального минимума. А

Таким образом, в случаях, когда для функции, заданной на отрезке, экстремум отсутствует, или же функция имеет не менее двух экстремумов, требуется другое правило отыскания наибольшего или наименьшего значения, отличное от первого.

Второе правило разыскания наибольшего или наименьшего значения: Пусть непрерывная функция у = f(x) задана на отрезке [а, Ь].

Найдем все критические точки функции на отрезке [а, Ь] и вычислим значение функции в этих точках, не выясняя характера экстремума.

Вычислим значения функции на концах отрезка.

Запишем полученные значения функции в порядке возрастания.

Тогда первое число является наименьшим значением / (ж), а последнее — наибольшим значением функции на отрезке.

Пример 4. Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х3 — Зх на отрезке [0, 2].

Решение. Найдем производную; у' = Зх2 — 3. Она всегда имеет смысл и обращается в нуль в двух точках: х = — 1 и x<i = 1. Из них только одна x<i = 1 лежит в рассматриваемом промежутке; следовательно, только она должна приниматься во внимание. Для отыскания наибольших и наименьших значений функции необходимо вычислить значения функции в критических точках, а также на концах отрезка:

у(0) = О3 3 • 0 = 0, у(1) = I3 3 • 1 = -2, у(2) = 23 3 • 2 = 2.

Наибольшим среди найденных значений является число 2, а наименьшим — число (—2).

Итак, з/наиб = J/(2) = 2, з/наим = у(1) = -2; наибольшее значение достигается на конце промежутка, а наименьшее — внутри. А

Задача 2. Найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции у = х3 — 3 х2 — 45 х + 225 на отрезке [0, 6].

Ответ: з/наиб = у(0) = 225, з/наИм = у(5) = 50.

V Пример 5 (о наименьшей стоимости перевозок).

Завод Л нужно соединить шоссейной дорогой с прямолинейной железной дорогой, на которой расположен город В. Расстояние |^4.01 от завода до железной дороги равно а, расстояние ОВ

) м в о в

а б Рис. 9.12. Задача о наименьшей стоимости перевозок

по железной дороге равно /. Стоимость перевозок по шоссе в к раз дороже стоимости перевозок по железной дороге (к > 1).

Как провести шоссе AM к железной дороге, чтобы стоимость перевозок от завода к городу была наименьшей?

Решение. Сделаем чертеж (рис. 9.12, а). Ясно, что шоссе тоже должно быть прямолинейным (прямая короче любой кривой, соединяющей данные две точки). Кроме того, пункт М не может лежать левее точки А и правее точки В. Если расстояние |М5| обозначить через ж, то 0 ^ х ^ /.

Пусть стоимость провоза по железной дороге т, тогда стоимость провоза по шоссе будет km. Общая стоимость Р провоза из А в В равна Р = тх + km J а2 + (I — х)2 . Следовательно, нужно найти наименьшее значение функции f(x) = = х + к л/а2 + (I — х)2 , (0 ^ х ^ /). Она имеет смысл при всех х. Поэтому критические точки функции f(x) могут быть только среди стационарных. Приравняем производную к нулю:

л/а2 + (1-х)2 +к(х-1)

Vfl2 + (/ ж)2

= 0.

Тогда

^а2 + (/ х)2 +к(х

-0=0, а2 + (1-х)2 = к2(1-х)2, -Х)2(к2-1) = а2.

Отсюда следует, что единственной критической точкой в интервале (0, +оо) является

X = I

Vk2 1 '

Рассмотрим два случая. Первый случай — найденная точка попадает в интервал (0, /), второй — найденная точка не попадает в интервал (0, /).

Первый случай. Если найденная точка лежит в интервале (0, /), то производная f'(x) при переходе через эту точку меняет знак с минуса на плюс. Поэтому найденная точка дает наименьшую стоимость перевозок.

Второй случай. Если же найденная точка не попадает в интервал (0, /), то производная неотрицательна в промежутке [0, /], а значит сама функция f(x) неубывает на этом отрезке и поэтому наименьшая стоимость перевозок достигается при х = 0. Второй случай показан на рис. 9.12, б.