11.2. свойства неопределенного интеграла
11.2. свойства неопределенного интеграла
1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
f(x)dx)' = f(x)
□ (jf(x)dx)' = (F(x) + С)' = F'(x) + С = f(x) + 0 = f(x). I
2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
d
/(ж) dx^j = /(ж) dx.
□ d (f{x)dx) = I применим определение дифференциала! =
= Q/(#) dx^j dx = (применим свойство 1| = f(x) dx. Ш
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого С:
dF(x) = F(x) + C.
□ Пусть производная функции F(x) равна = J F'{x) dx = f{x)dx = F{x) + С.Ш
Таким образом, согласно свойствам 2 и 3, операции интегрирования и дифференцирования в некотором смысле взаимно
обратны (знаки d и J взаимно уничтожают друг друга, в случае
свойства 3, правда, с точностью до постоянного слагаемого).
4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
kf(x)dx = к
f(x)dx,
где к — некоторое число, отличное от нуля.
□ Найдем производную функции g(x) = ^kf(x)dx — к J f(x) dx:
д'(*) = (
к f(x) dx — к
f(x)dxSj =
kf(x)dx^j — к ^ f(x)dx^j =
= (применим свойство 11 = к f(x) — к f(x) = 0.
По следствию из теоремы Лагранжа найдется такое число С, что д(х) = С, и значит
к f(x) dx = к
f(x)dx + C.
Так как сам неопределенный интеграл находится с точностью до постоянного слагаемого, то в последнем равенстве постоянную С можно опустить. ■
5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций:
(f(x)±g(x))dx =
f(x)dx ±
g(x) dx.
Доказательство аналогично доказательству свойства 4. Нетрудно видеть, что свойство 5 остается справедливым для любого конечного числа слагаемых.
V Пример. Найти |(4 х3 3 х2 + 2 х) dx.
Решение. Имеем:
(4ж3 -Зж2 + 2x)dx =
(4xs)dx
(3x2)dx +
(2x)dx =
= (x4 + Сі) (x3 + C2) + (x2 + Cs) = x4-x3 + x2 + C,
где С = С і — c2 + C3. Заметим, что здесь нет необходимости выписывать при промежуточных вычислениях постоянное слагаемое для каждого интеграла. Достаточно приписать его после выполнения всех интегрирований. А
Обсуждение Математика для социологов и экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы