11.4. метод замены переменной

11.4. метод замены переменной

К наиболее важным методам интегрирования относятся методы: непосредственного интегрирования, замены переменной, интегрирования по частям.

Метод непосредственного интегрирования рассмотрен в предыдущем параграфе.

Метод замены переменной (или метод подстановки) основан на следующей теореме.

Теорема 1. Если F(t) — первообразная функции /(£), a t = = (р(х) — дифференцируемая функция, то функция f (<р(х)) ф'(х) также имеет первообразную, причем

f(<p{x))<p'{x)dx = F(<p{x)) + C.

(11.2)

□ По правилу дифференцирования сложной функции

(F(V(x)))'x = F[(t) ■ fax) = f(<p(x)) <p'(x),

т. е. функция f [ip(x)) ipf(х) имеет в качестве одной из своих первообразных функцию F(cp(x)). Следовательно,

f(<p(x))<p'(x)dx = F{<p(x)) + C,

что и требовалось доказать. ■

Эта формула позволяет свести вычисление интеграла

(f'(x) dx к вычислению интеграла ^f(t)dt. При этом

вместо (р(х) мы подставляем переменную t, а вместо <р'(х) dx — дифференциал этой переменной, т. е. dt. Поэтому формула (11.2) называется формулой замены переменной под знаком неопределенного интеграла.

V Пример 1. Найти Jesin:E cosxdx.

Решение. В данное подынтегральное выражение входит множитель cos х dx, являющийся дифференциалом функции sin ж.

Полагая sin ж = £, получим |е8ШЖ cos ж dx = Je* dt = el + С. Возвращаясь к переменной ж, находим:

е8Іпж cosxdx = es[nx + С.

Проверим полученный результат:

(е8Іпж + С)' = е8Іпж (sin ж)7 = е8Іпж cos ж. А

ж dx

V Пример 2. Найти —.

J /Зж2 + 5

Решение. Числитель данного подынтегрального выражения напоминает дифференциал для подкоренного выражения 3 х2 + 5; в самом деле, d (3 х2 + 5) = (3 ж2 + 5)' dx = 6 ж б/ж. Это наводит на мысль о целесообразности подстановки t =

= 3 х2 + 5. Тогда dt = 6 х dx, откуда х dx = dt. Таким образом,

6

3

V Пример 3. Найти JV3 x + 4 б/ж.

Решение. Положим £ = 3 х + 4. Тогда dt = 3 б/ж, б/ж = і б/£,

о

VT • І • б/t =

л/З ж + 4 б/ж =

2

Заметим, что в простых случаях нет нужды вводить новую переменную. Так, предыдущий пример можно решить следующим образом. Находим в уме дифференциал от подкоренного выражения 3 ж + 4: d (3 ж + 4) = 3 б/ж. Вводим в подынтегральное выражение перед dx множитель 3; для компенсации ставим о

л/ЗаГ+4 • 3 • dx =

О

перед интегралом. Получаем:

л/ЗаГ+4 • d(3х + 4) =

3 2

В последнем решении новая переменная не выписана явно в виде t = 3 х + 4. В этом случае говорят о преобразовании функции под знаком дифференциала или о введении постоянных и переменных под знак дифференциала.

V Пример 4. Найти J(2 х — 5)9 dx.

Решение.

(2x-5fdx =

(2ж-5)9 -2-dx =

(2 х5)9 d(2x 5) = (2Ж105)1° + С =

= ^(2Ж-5)10 + С. А

V Пример 5. Найти Jcos(3x + 2) dx. Решение.

cos(3 х + 2) dx =

cos(3 x + 2) • 3 • dx =

cos(3 x + 2) • d (3 x + 2) = sin(3 x + 2) + С. A

о

В примерах 3-5 была использована линейная подстановка t = = к х + 6, где & ф 0) и 6 — некоторые числа. Применим эту подстановку к общему интегралу вида J f(k х + b) dx. Пусть F(x) — некоторая первообразная для функции f(x). Тогда

f(k х + b) • к • dx =

f(k х + b) dx = j

(и(х) v(x))' dx =

и {х) v{x) dx +

и{х) v'(x) dx.

и(х) v(x) + С =

uf(x) v(x) dx + u(x) vf(x) dx.

Так как J u(x) vf(x) dx уже содержит произвольную постоянную, то можно опустить С и записать равенство в виде

и(х) v(x) =

uf(x) v(x) dx +

u(x) vf(x) dx.

Используя определение дифференциала {du = и' dx, dv = v' dx), последнее равенство можно записать в форме

и v =

v du +

и dv

или

udv = uv — v du.

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Ею обычно пользуются в тех случаях, когда подынтегральное выражение v du проще, чем подынтегральное выражение и dv.

V Пример 1. Найти |жеж dx.

Решение. Воспользуемся методом интегрирования по частям. Положим и = х, dv = ех dx. Тогда du = dx, v = |еж dx = = еж + С. Теперь, применяя формулу интегрирования по частям, получаем

х ех dx =

и = х, dv = еж

du = dx

+ С

= и v

v du =

= х(ех + С)

(еж + С) dx =

= х ех + С х ех Сх + d = ех (х 1) + Сь

Анализ полученного решения показывает, что слагаемые, содержащие С, уничтожаются. Аналогично, в общем случае постоянная С, возникающая при нахождении v, не входит в запись окончательного ответа. Поэтому в дальнейшем, применяя формулу интегрирования по частям и найдя v, будем полагать С = 0, что несколько упрощает запись решения. А

V Пример 2. Найти |ж cosxdx.

Решение. Воспользуемся методом интегрирования по частям. Положим и = х, dv = cos х dx. Тогда du = dx,

v = cos x dx = sin x

(С = 0). Теперь, применяя формулу интегрирования по частям получаем

х cos х dx =

и = х, du = dx dv = cos ж, v = sin x

= x sin x — sin x dx = = x sin ж + cos ж + С. A

Задача 1. Найти |ж sin ж of ж. Ответ: —х cos ж + sin x + С.

V Пример 3. Найти |ж2 cosxdx. Решение.

ж2 cos х dx =

и = ж2, о!гл = (x2)fdx = 2х dx dv = cos ж, г> = sin ж

= sin ж — 2

x sin ж о!ж.

К полученному интегралу применяем интегрирование по частям (задача 1). Окончательно получаем:

х2 cos х dx = х2 sin х + 2 х cos х — 2 sin х + С.

В данном примере формулу интегрирования по частям была применена дважды: после первого интегрирования по частям степень переменной х в подынтегральном выражении уменьшилась на единицу. Второе применение формулы интегрирования по частям привело уже к табличному интегралу. А

Задача 2. Найти |ж s'mxdx.

Ответ: —х 2 cos х + 2 х sin х + 2 cos х + С.

V Пример 4. Найти |ж xdx.

Решение.

х In х dx =

и = In ж, ri// = (In xYdx = — dx

x2 X dv = x dx. v = —

= -пх

х^1 2 х dx =

ха л 1

= — In х — -2 2

х dx = Xі In х — Xі.

2 4

Если выбрать функции и и v в виде и = х, dv = In х dx, то

возникает интеграл v = J In х dx, который не является табличным

(не путать интеграл с производной!). Таким образом, такой выбор функций приводит к интегралу, который не легче исходного.

Интеграл v = J In х dx также находится с помощью интегрирования по частям. Он вычислен ниже. Отметим, что даже если его подставить в формулу интегрирования по частям, то получим интеграл, который труднее исходного. Поэтому прежде чем интегрировать по частям, надо в уме прикинуть, что может дать тот или иной выбор функции и. А

V Пример 5. Найти Jinх dx. Решение.

In х dx =

и = In ж, du = ( x)'dx = dv = dx, v = x

= x In x — — dx

x

x — dx = x In x — x + C.

x

Задача 3. Найти J x arctgx dx. Ответ: ^arctg x — і x + і arctg x + C.