11.6. компьютерное интегрирование

11.6. компьютерное интегрирование

В предыдущих параграфах были рассмотрены лишь простейшие интегралы. Поэтому может показаться, что отыскание интегралов — это легкое дело. На самом деле это не так. Если при нахождении производных действуют механически, руководствуясь определенными правилами, то при интегрировании часто требуется проявить догадку, найти какую-нибудь нестандартную подстановку. Большая часть подобных находок классифицирована и описана в литературе. Выделены специальные классы функций для интегрирования которых используется один и тот же прием. В учебниках наиболее часто выделяют следующие классы:

рациональные функции;

иррациональные выражения, вычисляемые при помощи рационализации;

иррациональные выражения, вычисляемые при помощи подстановок Эйлера;

биномиальные дифференциалы;

тригонометрические функции.

В справочниках подобных классов интегрирования значительно больше.

Более того, описаны непрерывные элементарные функции, интегралы от которых не являются элементарными функциями. Такие интегралы часто называют «неберущимися», подразумевая под этим, что такого рода интегралы не могут быть выражены с помощью конечного числа элементарных функций (они имеют представление только в виде ряда!). Например, интегралы

sin x

dx,

dx,

dx,

sin х2 dx,

cos x

cos x2 dx,

dx In x

не сводятся к конечной комбинации элементарных функций.

Хорошими помощниками при интегрировании служат математические пакеты символьных вычислений, которые вобрали в себя практически все что известно об интегралах. Приведем примеры вычисления некоторых интегралов в пакете Maple.

Потребуем от компьютера вычисления «неберущегося» инте-sin x

dx. Для этого напишем в командной строке:

грала

>int(sin(x)/x,x);

и нажмем клавишу Enter. Компьютер ответит: Si(x) .

Обратившись через Help к помощи узнаем, что через Si(x) обозначается специальная функция, являющаяся одной из перво-

образных от функции

sin х

и называемая интегральным синусом

или the Sine Integral (синусный интеграл). Таким образом, ответ дан верно (+ С компьютер не пишет).

Преимущества использования пакета особенно заметны, когда приходится применять неоднократные интегрирования по частям. Новых знаний подобная операция не прибавляет, а времени отнимает много. Пусть, например, требуется вычислить интеграл

J ж6 sin х dx. Ясно, что нахождение этого интеграла требует 6 интегрирований по частям, что является весьма утомительным и может привести к механической описке при вычислении. Гораздо проще вычислить этот интеграл на компьютере в пакете Maple. Пишем команду:

>int(x~6*sin(x),х);

Нажимаем Enter и получаем ответ:

— х6 cos(x) + 6 хъ sin(x) + 30 х4 cos(x) — 120 х3 s'm(x) —

360 х2 cos(x) + 720 cos(x) + 720 x sin(x).

Для вычисления интеграла

2ж^ + 4

о dx набираем

ж2 + 2ж-3

>int((x~3-2*x~2+4)/(x~2+2*x-3),х);

Ответ: і ж2 — 4ж + ^п(х + 3) + ^ ln( —1 + х). (Интеграл

вычисляется выделением в подынтегральном выражении целой части и разложением остатка в сумму простейших дробей.)

f 1

Пусть требуется вычислить интеграл

dx.

1 + sin x + COS x

После выполнения компьютером команды

>int(l/(l+sin(x)+cos(x)),х);

получаем In ^2 + 2 tg ^ x^j ^ . ^Этот интеграл от выражения,

содержащего тригонометрические функции, можно вычислить с помощью универсальной тригонометрической подстановки t =

= tg

■»

х

Чтобы вычислить интеграл — гdx на комJ у/(7*х-10 -x2f

пьютере, вводим команду

>int(x/sqrt((7*x-10-x~2)~3) ,х);

и нажимаем клавишу Enter.

п 2 (7 х20) (-7^ + 10 + х2)

Ответ: — =—-. Ьез использования Maple

9 ^/-(-^ж + Ю + ж2)3 пришлось бы применить так называемую третью подстановку

Эйлера, которая для данного примера имеет вид t = = у/7 х 10-х2/(х-2).

Интегрирование при помощи компьютера превращает былое искусство в элементарное нажатие кнопок. Поэтому многие, возможно, еще жалеют о том времени, когда приходилось применять чудеса смекалки, чтобы вычислить тот или иной интеграл. Стоит ли жалеть об этом? Думается, что нет. То, что трудоемко и требует больших затрат времени, уходит в прошлое. Такова логика развития. Ведь не пытаемся же мы вспомнить как делятся римские цифры. А деление римских цифр — это тоже целое искусство. Римская система, в отличие от арабской, не является позиционной. Поэтому выполнения арифметических операций в этой системе сродни искусству. Чтобы научиться арифметическому делению, в Европе в средние века требовалось закончить университет. Да еще не всякий университет мог научить этой премудрости. Нужно было непременно ехать в Италию: тамошние математики добивались большого искусства в делении римских цифр. Деление же миллионных чисел было доступно лишь бородатым мужам, посвятившим этому занятию всю жизнь.

Римская система счисления, распространенная в средние века в Европе, оказалась неудобной для арифметических операций и канула в лету. Мы стали проводить необходимые вычисления быстро и легко, полностью забыв об искусстве счета в римской системе счисления. Так надо ли жалеть о том, что рутинное искусство интегрирования также уходит в прошлое? Не лучше ли направить свои знания, навыки, смекалку и выдумку на задачи, которые еще ждут своего решения?

Тот, кто имеет достаточные навыки в анализе, сможет все увидеть с необычайной легкостью.

Л. Эйлер