Глава 12 определенный интеграл 12.1. исторические сведения

Глава 12 определенный интеграл 12.1. исторические сведения

Интегральное исчисление возникло из задач на определение площадей и объемов. Эмпирически обнаруженные правила измерения площадей и объемов некоторых простейших фигур были известны еще ученым Древнего Востока. Уже за 2000 лет до н. э. египтяне и вавилоняне умели, в частности, приближенно измерять площадь круга и знали правило вычисления объема усеченной пирамиды с квадратным основанием. А существенный прогресс в вычисление площадей и объемов различных фигур внесла древнегреческая наука. Особенно большой вклад был внесен Архимедом. Архимед нашел площади многих фигур и объемы значительного числа тел, основываясь на представлении, что плоская фигура состоит из бесчисленного множества прямых отрезков, а геометрическое тело — из бесчисленного количества параллельных плоских сечений.

АРХИМЕД (около 287-212 до н.э.) — древнегреческий математик, физик, астроном и изобретатель. Родился в Сиракузах (о. Сицилия) и жил в эпоху 1-й и 2-й Пунических войн. Архимед — автор многочисленных технических изобретений: машины для орошения полей, водоподъемного механизма (архимедов винт), системы рычагов, блоков для поднятия больших тяжестей, военных метательных машин и т. п. Во время 2-й Пунической войны он возглавлял оборону Сиракуз. Его метательные машины вынудили римлян отказаться от попытки взять город штурмом и заставили перейти к осаде.

Математические работы Архимеда намного опередили свое время и были правильно оценены только в эпоху создания дифференциального и интегрального исчисления. Архимед вычислил площадь эллипса, параболического сегмента, нашел площадь поверхности и шара, объем шара и сферического сегмента, а также объемы различных тел вращения и их сегментов. Ему принадлежит также понятие центра тяжести тела, он нашел положение центра тяжести различных фигур и тел, дал математический вывод законов рычага. Рассказывают, что Архимед нашел решение задачи об определении количества золота и серебра в жертвенной короне сиракузского царя Гиерона, когда садился в ванну, и нагим побежал домой с криком «эврика!» (нашел). Крупнейшим его достижением в астрономии было построение планетария — полой вращающейся сферы, на которой можно было наблюдать движение солнца и пяти планет, фаз луны, солнечные и лунные затмения.

При взятии Сиракуз Архимед был убит римским солдатом, которого, по преданию, встретил словами: «Не трогай моих чертежей». На могиле Архимеда был поставлен памятник с изображением шара и описанного вокруг него цилиндра. Эпитафия указывала, что объемы этих тел относятся как 2:3, — открытие Архимеда которое он особенно ценил.

Систематическое развитие подобные представления получили значительно позже — лишь в XVII веке. Так, например, теорему Архимеда о том, что площадь круга равновелика площади треугольника с основанием, равным длине окружности, и высотой равной радиусу, И. Кеплер доказывал в нескольких словах: каждая точка окружности рассматривается как основание равнобедренного треугольника с вершиной в центре круга и высотой, равной радиусу; площадь круга состоит из бесконечного числа треугольников, в совокупности равновеликих треугольнику с той же высотой, то есть радиусом, и основанием, равным сумме всех оснований, то есть длине окружности.

КЕПЛЕР (Kepler) Иоганн (1571-1630) — немецкий астроном и математик. Родился в Вейль-дер-Штадте (Вюртенберг, Германия). Обрабатывая наблюдения датского астронома Т. Браге установил три закона движения планет. Изложил теорию солнечных и лунных затмений, их причины и способы предсказания. Изобрел простейшую зрительную трубу, которая до сих пор называется его именем. Оригинальными приемами интеграции нашел объемы 92 тел вращения.

Пользуясь такого рода рассуждениями И. Кеплер нашел объемы многих новых тел вращения. Известные в астрономии законы Кеплера фактически также были получены им с помощью приближенного интегрирования.

Замечательно остроумные приемы Архимеда, Кеплера и других ученых не обладали, однако, строгостью, а главное, как правило, носили характер геометрических преобразований, для каждого случая особых и поэтому лишенных общности.

Кавальєри, Торричелли, Ферма, Паскаль и другие ученые XVII века еще больше приблизились к современным представлениям об интеграле. Барроу установил связь между задачей о разыскании площади и задачей о разыскании касательной. А И. Ньютон и Г. Лейбниц независимо друг от друга в 70-х годах

XVII века отделили эту связь от упомянутых частных геометрических задач и создали алгоритмы дифференциального и интегрального исчислений.

И. Ньютон открыл взамно обратный характер операций дифференцирования и интегрирования. Он указывал, что все задачи нового анализа сводятся к двум взамно обратным проблемам, которые могут быть сформулироаны в терминах механики: 1) определение скорости движения в данный момент времени по известному пути и 2) определение пройденного за данное время пути по известной скорости движения. «Время» при этом понималось просто как общий аргумент всех переменных. Вводит он и понятие дифференциала, которое называет моментом. И. Ньютон намечает программу построения анализа на основе учения о пределе, не давая впрочем формального определения этого понятия, получившего глубокое развитие в математике XIX века.

Г. Лейбниц свел частные и разрозненные приемы вычисления площадей, проведения касательных и т. п. в единую систему взаимно связанных понятий анализа, выраженных в обозначениях, позволяющих производить действия с бесконечно малыми по правилам определенного алгоритма. При этом дифференциал в основном понимался как бесконечно малая разность двух соседних значений величины (отсюда его символ d — первая буква латинского слова differentia (дифференция) — разность,

и отношение дифференциалов соответствующее производной), кривая рассматривалась как многоугольник с бесконечно большим бесконечно малых сторон, касательная — как прямая продолжающая одну из таких сторон. Г. Лейбниц ввел понятие об интеграле как о сумме бесконечного числа дифференциалов. Таким образом, главными понятиями анализа Г. Лейбница являлись дифференциал как бесконечно малая разность и интеграл как сумма.

Дальнейшее развитие методы интегрирования получили в

XVIII и XIX веках. В XVIII веке в работах Л. Эйлера были

найдены практически все известные в настоящее время приемы

интегрирования в элементарных функциях. В XIX веке О. Коши аналитически доказал существование интеграла непрерывной функции и перестроил дифференциальное и интегральное исчисление, заложив в качестве их основы понятие предела функции.

Дальнейшие обобщения понятия интеграла связаны с немецким ученым Б. Риманом и французским ученым А. Лебегом.