12.3. геометрический смысл интеграла

12.3. геометрический смысл интеграла

В случае, когда функция у = f(x) неотрицательна на от-b

резке [а, Ь, где а < 6, dx численно равен площади S под

а

кривой у = f(x) на [а, Ь]. Это следует из определения интеграла: при стремлении тахДжї к нулю ширина ступенек стремится к нулю и интегральная сумма превращется в площадь фигуры под кривой.

Если а < b и f(x) ^ 0, то

b

f(x) dx = —S,

a

т. е. определенный интеграл от функции, принимающей неположительные значения, равен площади соответствующей криволинейной трапеции, взятой со знаком минус (рис. 12.3).

Если а < b и f(x) меняет знак на отрезке [а, 6], то определенный интеграл равен алгебраической сумме площадей соответствующих криволинейных трапеций (рис. 12.3):

b

f(x) dx = Si S2 + S3.

a

У

У

X

ъ

ъ

f{x)dx = -S

f(x)dx = S1-S2 + Sz

а

а

Рис. 12.3. Геометрический смысл интеграла