12.4. интеграл в социально-экономической сфере

12.4. интеграл в социально-экономической сфере

Определение интегральной суммы позволяет использовать понятие определенного интеграла в социально-экономической сфере. Его применение основано на том, что любой меняющийся социально-экономический процесс может быть интерпретирован как скачкообразный, скачки которого близки к нулю.

Количество денег, поступивших в Сбербанк за определенный промежуток времени. Пусть и = f(t) описывает количество денег поступающих в сберегательный банк в каждый момент времени t. Требуется определить общее количество денег [/, поступивших в банк за промежуток времени [О, Т].

Если f(t) = const, то количество денег [/, поступившее в банк за промежуток времени [О, Т], находится по формуле U = = f(c) • (Т — 0) = f(c) Т, где с произвольное значение из отрезка [0, Т].

Если в каждый момент времени за промежуток времени [0, Т/2] в банк поступает f(c) денежных единиц, а в каждый момент времени в промежутке [Т/2, Т] — f(c2) денежных единиц, то общее количество денег, поступившее за промежуток времени [0, Т], подсчитывается по формуле

U = f(Cl)T/2 + f(c2)T/2.

Пусть f(t) — произвольная кусочно-непрерывная функция на отрезке [0, Т]. Разобьем отрезок [0, Т] на промежутки времени точками:

0 = t0 < ti < t2 < ... < tn-i <tn = T.

Количество денег AUij поступивших в банк за промежуток времени [ti-i, ti], приближенно может быть вычислено по формуле

AUaf(Ci)AU,

где Сі Є [ti-i, ti], At і = ti — ti-i, і = 1, 2, ..., n (точность этого равенства тем выше, чем меньше At і). Тогда

п п t=l г=1

При стремлении maxAti к нулю каждое из использованных приближенных равенств становится все более точным, поэтому

п

max At і —>0 .

г=1

Учитывая определение определенного интеграла, окончательно получаем

т. е. если f(t) — количество денег, поступивших в Сбербанк в

т

момент времени £, то J f(t) dt есть общее количество денег, по0

ступивших в Сбербанк за промежуток времени [0, Т].

Поскольку f(t) ^ 0, то общее количество денег, поступивших в Сбербанк за промежуток времени [0, Т] численно равно площади фигуры под графиком функции f(t).

Объем продукции, произведенной за определенный промежуток времени. Пусть, теперь, функция у = f(t) описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени. Найдем объем продукции Q, произведенной за промежуток времени [0, Т].

Разобьем отрезок [0, Т] на промежутки времени точками:

0 = t0 < ti < t2 < ... < tn-i <tn = T.

Объем продукции AQi, произведенной за промежуток времени [ti-i, ti], приближенно может быть вычислен по формуле

AQ«/(Cj)Ati,

где Сі Є [ti-ii ti], At і = ti — ti-ij і = 1, 2, ..., n (точность этого равенства тем выше, чем меньше At і). Тогда

maxAtj—>-0 .—: г=1

Учитывая определение определенного интеграла, окончательно получаем

т

Q =

/(*) dt,

т. е. если /(£) — производительность труда в момент времени £, т

то J f(t)dt есть объем выпускаемой продукции за промежуток о

времени [О, Т].

Поскольку /(£) ^ 0, то объем продукции, произведенной за промежуток времени [О, Т], численно равен площади фигуры под графиком функции /(£), описывающей изменение производительности труда с течением времени, на промежутке [О, Т].