12.7. методы интегрирования

12.7. методы интегрирования

Теорема 1. Если выполнены условия 1) функция f(x) непрерывна на отрезке [а, 6]; 2) отрезок [а, Ь] является множеством значений функции х = g(t), определенной на отрезке а ^ t ^ /3 и имеющую на нем непрерывную производную] 3) д(а) = а, g(fi) = = 6, то справедлива формула:

f(x)dx =

f(g(t))g'(t) dt.

□ Пусть F(x) — первообразная для функции f(x) на отрезке [а, 6], т. е. Ff(x) = f(x) для всех х Є [а, 6], тогда

f(x) dx = F(b) F(a).

Поскольку функции F(x) и х = g(t) являются дифференцируемыми на соответствующих отрезках, сложная функция F(g(t)) дифференцируема и

F't = F'x{x)g't(t) = f{g{t))g'(t).

Следовательно, функция F[g(t)) является первообразной для

функции f(g(t)) на отрезке [a, j3>. По формуле Ньютона-Лейбница получаем

f(g(t))g ) dt = F(g(f3))-F(g(a)) =

= F(b) F(a) =

f(x)dx.

Доказанную формулу называют формулой замены переменной под знаком определенного интеграла. При использовании этой формулы определенного интеграла

f(x)dx

преобразуется с помощью подстановки х = g(t) в определенный интеграл

f(g(t))g'(t) dt

относительно новой переменной t. При этом старые пределы интегрирования а и b заменяются соответственно новыми пределами интегрирования а и /3, которые находятся из исходной подстановки: а = g(a), b = д(/3). При этом нет необходимости, как это было для неопределенного интеграла, возвращаться к исходной переменной интегрирования.

13

V Пример 1. Найти J л/2 х — 1 dx.

Решение. Введем вспомогательную переменную £, связанную с х зависимостью t = 2 х — 1. Дифференцируя, имеем dt =

= 2dx, откуда dx = ^ dt. Находим новые пределы интегрирования. Подставляя в соотношение t = 2 х — 1 значения х = 5 и х = = 13, соответственно получим

« = 2-5-1 = 9,

Следовательно,

/3 = 2-13-1 = 25.

13 25

л/2 х — 1 =

25

I і з

t2 dt=

о

25

= 32-. ▲

При вычислении определенного интеграла методом подстановки принято введение новой переменной, смену пределов интегрирования и другие пояснения записывать в специальных скобках | • | между знаками равенства.

і

V Пример 2. Найти J(2 х3 + 1)4х2 dx.

о

Решение.

(2x6 + l)4x2dx =

t = 2 Xs + 1; dt = 6х2 dx: х2 dx = dt:

6

£ = 1 при ж = 0, £ = 3 при х = 1

£4 =

1 *5 3 1 ,05 l5x ~ 1

6 5

V Пример 3. Найти J —

t = у/х + 1; х = t2 1; dx = 2tdt; t = 2 при ж = 3, t = З при ж = 8

(Г -l)2tdt

= 2

(Г 1) dt = 2 ( t

о

= 2 (9 3) 2 (I 2) = 10|. A

тг/2

Задача 1. Найти J sin3 ж of ж.

Ответ: (подстановка t = cos ж), о

Рассмотрим теперь, как выполняется интегрирование по частям в определенном интеграле.

Теорема 2. Пусть функции и = и(х), v = v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [а, Ь]. Тогда

где и v

= u(b) v(b) — и (a) v(a).

Эта формула называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

□ Поскольку (и v)f = и1 v + и Vі, функция и v является первообразной для функции и' v + и Vі. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница и свойству 2 получаем:

и v

(и v + и Vі) dx =

v и dx +

uv' dx =

v du +

и dv.

тг/2

V Пример 4. Найти J х cosxdx.

о

Решение.

тг/2

х cos х dx =

и = х: du = dx;

dv = cos ж б/ж;г> = sin х

= х sin X

тг/2 О тг/2

sin ж = — sin — — U + cos х

тг/2 О

х In ж dx =

и = In х du = (In x)'dx = — dx; dv = х dx:v = —

х

= Y x

— • — dx = (х1 In x — x1

2 x

Задача 2. Найти J ж In2 ж of ж.

Ответ: і (е2 — 1) — интегрирование по частям производится дважды.

Примеры вычисления неопределенных интегралов с помощью пакета символьных вычислений Maple уже приводилось в этой книге. С его помощью можно вычислять и определенные интегралы. Покажем как выглядит решение примера 5 и задачи 2 с помощью компьютера:

>int(x*ln(x),х=1..ехр(1));

1 2 1 4Є +4 

>int(x*(ln(x))~2,x=l. .exp(l)) ;

4 4*

Конечно же для таких простых примеров нет необходимости в применении компьютера. Компьютер целесообразно использовать в случае, когда требуется выполнение рутинных вычислений. Так, вычисление определенного интеграла

х In10 х dx

требует выполнения десяти интегрирований по частям. Такую задачу лучше поручить компьютеру. Она легко найдет ответ:

>int(x*(ln(x))'410,x=l. .exp(l));

1919 о 14175

—е •