Глава 13 применение интегрального исчисления в социально-экономической сфере 13.1. вычисление объема выпущенной продукции

Глава 13 применение интегрального исчисления в социально-экономической сфере 13.1. вычисление объема выпущенной продукции

Как уже отмечалось выше (см. п. 12.4), определенный интеграл используется в экономике и для определения объема выпуска продукции.

Считая, что объем продукции, произведенной в единицу времени (производительность), является непрерывной функцией f(t) от времени £, выпуск продукции за промежуток

т

времени [О, Т] можно вычислять по формуле Q = J f(t) dt.

о

V Пример 1. Найти дневную выработку Q за рабочий день продолжительностью 8 часов, если производительность труда в течение дня меняется по эмпирической формуле f(t) = = -0,Н2 + 0,8£ + 10.

Решение.

Q =

f(t)dt =

= -о,н3/3 + °?8*2/2 + 10*'1

(—0,1 г + 0,81 + 10) dt =

о

11 к 88,53. ▲

Задача 1. Найти объем продукции, выпущенной за год (258 рабочих дней) при 8-часовом рабочем дне, если производительность задана функцией f(t) = -0,0033 і2 0,0891 + 20,96, 0 < t < 8.

Указание. Сначала найти объем продукции за 8 часов, затем

Ответ: 42 381 ед.

V Пример 2. Пусть известно, что в начальный момент времени t = 0 на предприятии производилось продукции в количестве у о, а скорость роста продукции, произведенной на предприятии, равна нулю. Найти какое количество продукции y(t) производится в каждый момент времени t.

Решение. Согласно условию задачи

dy(t) = dt

Решением этого уравнения является произвольная постоянная y(t) = С. Воспользовавшись другим условием задачи, согласно которому

2/(0) = Уо, получим С = у о, откуда имеем

y(t) = Уо,

т. е. предприятие производит продукции в каждый момент времени столько же сколько и в начальный. А

Задача 2. В условиях предыдущей задачи найти количество продукции произведенной на предприятии за время [0, 2].

2

Ответ: dt = 2уо.

о