13.5. задача дисконтирования денежного потока
13.5. задача дисконтирования денежного потока
При определении экономической эффективности капитальных вложений возникает задача дисконтирования: определение начальной суммы Aq через время t по ее конечной величине A(t) при процентной ставке р.
Пусть A{t) — конечная сумма, полученная за t лет, и Aq — начальная сумма.
Если проценты простые, то в конце каждого года t сумма A{t) в Сбербанке по сравнению с прошлым годом {t — 1) увеличивается на р \% от начальной суммы А$:
A(t) = A(t-l) + ^-A0.
В первого года начисляется сумма составит
Л(1) = Л0 + 4Л„ = Л0 (l + JL);
в конце второго года
в конце года t:
Поэтому если проценты простые, то дисконтированная сумма вычисляется по формуле
A(t) = A0(l + ^) tGN;
100 j
при непрерывном начислении процентов — по формуле
A(t) = Л0е
100
t Є (0, +оо).
Отсюда получаем, что дисконтированная (в данном случае, начальная) сумма к моменту времени t в случае сложных процентов
A0 = A(t)e
100
Предположим, теперь, что деньги вкладываются в банк не разово, в начальный момент времени t = 0, а постоянно и образуют денежный поток, который выражается непрерывной функцией Ao(t). Тогда (см. п. 12.4) общая сумма вложенная в банк за период времени [О, Т], представляет определенный интеграл
Ud(T) =
A0(t) dt =
pt
A[t)e 100 dt.
Здесь A(t) — ежегодно поступающий доход.
Величина Ud(T) называется дисконтной суммой за период времени [О, Т]. Слово «дисконтный» происходит от английского discount (скидка).
V Пример. Какую сумму следует внести за период [О, Т] в Сбербанк под 10\% годовых, чтобы ежегодный доход составлял тысячу рублей. Предполагается, что проценты начисляются непрерывно.
Решение. Согласно условию задачи A(t) = 1 при всех t Є (0, Т), поэтому
Ud(T) =
A0(t) dt =
1-е
10t
100 dt =
10e-°'1T + 10 (тыс. руб.).
В частности, при Т = 3 года, имеем
Ud(3) = -10 е-0'1'3 + 10 « 2,59 (тыс. руб.).
Таким образом, чтобы ежегодный доход в течении трех лет составлял 1 тыс. руб. (за три года — 3 тыс. руб.), следует вложить в Сбербанк 2,59 тыс. руб. Прибыль за три года составит 0,41 тыс. руб. За Т = 10 лет
Ud(10) = -10 е-0'1'10 + 10 « 6,32 (тыс. руб.)
(прибыль за 10 лет равна около 3,68 тыс. руб.). А
Задача 1. Пусть проценты в банке начисляются непрерывно. Какую сумму следует внести за период [0, Т] в Сбербанк под 10\% годовых, чтобы ежемоментный доход в момент времени t составлял е0'1^ тысячу рублей.
Ответ: Т тысяч рублей.
Задача 2. Пусть проценты в банке начисляются непрерывно. Какую сумму следует внести за период [0, Т] в Сбербанк под 10\% годовых, чтобы ежемоментный доход в момент времени t составлял 1 + 0,11 тысячу рублей.
Указание. Применить формулу интегрирования по частям.
Ответ: 20 10 (2 + 0,1 • Т) е"°'1Т тыс. руб.
Раздел IV Функции многих переменных
Именно предельные абстракции являются тем истинным оружием, которое правит нашим осмыслением конкретного факта.
А. Уайтхед
Обсуждение Математика для социологов и экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы