14.4. полный дифференциал

14.4. полный дифференциал

Полным приращением Az функции

z = f(x, у)

называется разность f(x + Аж, у + Ay) — /(ж, у), где Ах и Ау — соответствующие приращения аргументов х и у:

Az = f(x + Ах,у + Ay) f(x, у).

Будем говорить, что функция имеет непрерывные частные производные в точке М(ж, у), если z = /(ж, у) имеет частные производные zx (х, у), zy (х, у) в окрестности точки (ж, у), причем эти производные непрерывны в самой точке (ж, у). Такая функция является дифференцируемой в точке (ж, у). (Вообще же, понятие дифференцируемости шире, чем существование непрерывных частных производных. Однако практически все функции, рассматриваемые в социально-экономической сфере, обладают непрерывными частными производными. Поэтому точного определения дифференцируемости нам не понадобится.)

Полным дифференциалом функции z = /(ж, у) называется выражение dzj которое вычисляется по формуле

dz = z'x Ах + z'y Ay.

Дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, то есть dx = Ах ndy = Ay (проверьте!). Поэтому формулу полного дифференциала можно записать так:

dz = z'xdx + z' dy.

Произведение частной производной на приращение (дифференциал) аргумента х называется частным дифференциалом и обозначается dxz. Аналогично определяется частный дифференциал по аргументу у:

dx z = z'x dx, dy z = Zy dy,

т. е. полный дифференциал dz равен сумме частных дифференциалов dxz и dyZ.

V Пример. Найти полный дифференциал функции z =

= л/х2 + у2 .

Решение. Имеем

- х у

+г Vх +у

и,следовательно,

х у

dz = dx Н dy. А

л/х2 + у2 л/х2 + у2

Аналогично определяется и вычисляется полный дифференциал любого числа переменных.