15.4. условный экстремум

15.4. условный экстремум

Пусть требуется исследовать на экстремум функцию z = = f(x,y) при условии, что сами переменные х и у связаны уравнением

д(х, у) = 0.

Геометрически это означает, что кроме функции z = f(x,y) задана еще некоторая линия L в плоскости хОу, и требуется функцию z исследовать на экстремум при условии, что экстремальные точки могут принадлежать только этой линии L. Эти точки называются точками условного экстремума, а уравнение, связывающее переменные х и у, — уравнением связи.

Если из уравнения связи д(х, у) переменную у выразить явно через х и подставить в заданную функцию z = f(x, у), то получим функцию от одной переменной х. Найдя те значения ж, при которых z достигает экстремума, мы подставим их в уравнение связи и определим соответствующие значения у. В результате будут получены точки условного экстремума.

В тех случаях, когда у нельзя выразить явно через ж, применяют так называемый метод множителей Лагранжа, сущность которого состоит в следующем.

Чтобы данную функцию z = f(x, у) исследовать на экстремум при условии, что д(х, у) = 0, надо:

составить вспомогательную функцию Лагранжа

F(x, у, А) = /(ж, у) + Хд(х, у),

где Л — вспомогательная неизвестная, именуемая множителем Лагранжа;

найти частные производные

F' F' Fxприравнять каждую из них нулю и решить полученную систему трех уравнений с тремя неизвестными ж, у и Л.

В результате решения системы будут получены точки, в которых функция может иметь условный экстремум, но может и не иметь его в найденных точках, так как система выражает только необходимое условие экстремума.

V Пример. Исследовать на экстремум функцию

z = х2 + 6х -2у + 1

при условии, что переменные х и у связаны уравнением

х2 + у 4 = 0.

Решение. Первый способ решения. Уравнение связи представляет уравнение параболы у = 4 — х2. Заменив в заданной функции z переменную у через 4 — ж2, получим

z(x) = х2 + 6 х 2 (4 х2) + 1,

или

z(x) = 3 х2 + 6 х — 7. Полученную функцию z(x) исследуем на экстремум.

^= Qx + 6; 6ж + 6 = 0;

ах

xq — стационарная точка функции z(x). Находим вторую производную:

Так как вторая производная положительна, то в найденной стационарной точке функция z(x) имеет минимум. Подставив xq = — 1 в уравнение связи, получим

2/0 = 4-1 = 3.

Следовательно, точка Pq(—1, 3) — точка условного экстремума. В этой точке функция 2(ж, у) имеет минимум:

Zmin = Z(-1, 3) = 166+1 = -10.

Второй способ решения. Определим теперь точку условного экстремума, пользуясь методом множителей Лагранжа.

1) Составляем вспомогательную функцию Лагранжа. Так как по условию

z = х2 + §х 2у + 1, д(х, у) = х2 + у 4 = 0,

то

F(x, у, X) = х2 + 6х -2у + 1 +А (х2 + у -4).

Находим частные производные

F'x = x2 + y-A.

Приравняв каждую частную производную нулю, получаем систему:

'2х + 6 + 2х = 0, < -2 +А = 0, Xі + у 4 = 0.

Из второго уравнения Л = 2, тогда из первого уравнения следует х = — 1, а из третьего у = 3. Таким образом, Ро(—1, 3) — единственная точка, которая может быть точкой условного экстремума. Большего метод Лагранжа не дает. В этом смысле первый способ решения предпочтительнее. А

Задача. Исследовать на экстремум функцию

z = 2 Xі + у2

при условии, что переменные х и у связаны уравнением

х + у2 = 0.

Ответ: zm-m = z(-2, 4) = 24.

Метод множителей Лагранжа может быть использован и при исследовании на экстремум функции большего числа переменных.

Пусть задана функция трех переменных и = f(x, у, z), где переменные ж, у, z связаны между собой уравнением

д(х, у, z) = 0.

В этом случае вспомогательная функция Лагранжа имеет вид

F(x, у, z, А) = f(x, у, z) + Хд(х, у, z).

Переменные ж, у и z могут быть связаны двумя уравнениями связи:

ді(х, у, z) = 0, £2(ж, V, z) = 0.

11 я. М. Ахтямов

Тогда функция Лагранжа имеет вид

F(x, у, z, Ль Л2) = f(x, у, z) + igi(x, у, z) + Л2#2(ж, у, z).