17.5. уравнение бернулли
17.5. уравнение бернулли
Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка, не являясь линейными, могут быть приведены к линейным после предварительных преобразований. Примером может служить уравнение
y' + f(x)y = g(x)-yn, (17.12)
которое называется уравнением Бернулли.
При п = 1 уравнение (17.12) становится уравнением с разделяющимися переменными. При п = 0 уравнение (17.12) есть линейное уравнение. Если п — число, отличное от нуля и единицы, то при помощи подстановки z = у1~п уравнение (17.12) приводится к линейному уравнению относительно новой функции Z.
Итак, пусть п ф 0, п ф 1. Введем новую функцию
z = y1~n,
(17.13)
тогда
z' = (1-п) у~п у'. Разделим обе части уравнения (17.12) на уп: y-ny' + f(x)y1-n = g(x).
Отсюда
z'/(l-n) + f(x)y = g(x),
или, что то же самое,
z' + (l-n)f(x)y = (l-n)g(x). (17.14)
Это уже линейное уравнение, решение которого описано в п. 17.4.
V Пример 1. Решить уравнение
у' + | = у2 In ж.
Решение. Заданное уравнение является уравнением Бернулли (п = 2). После замены (17.13) оно приводится к уравнению (17.14). В нашем случае оно имеет вид
z z = — In X.
X
Согласно (17.9) решение этого уравнения имеет вид
z = e^lxdx ( (In ж) e-^lxdx dx + C^j=x + Сі) •
Поскольку z = —, имеем У
1 f 2x
= x[ — + Ci
у V 2
Положив С і = С/2, окончательно получаем
2
У =
(In2 х + С)
Задача. Решить уравнение Бернулли
ху' у = Xs у2.
Ответ: у = j.
Открытие исчисления бесконечно малых дало математикам возможность свести законы движения тел к аналитическим уравнениям.
Ж. Лагранж
Обсуждение Математика для социологов и экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы