1.4. основные свойства функций

1.4. основные свойства функций

Под основными свойствами функции у = f(x) будем понимать следующие шесть:

область определения D(f);

область значений E(f);

четность, нечетность;

монотонность;

ограниченность;

периодичность.

Первые два свойства функции уже были определены. Ниже дается описание остальных четырех свойств функции.

Четность и нечетность. Функция у = f(x) называется четной, если для любых значений х из области определения f(—x) = f(x) и нечетной, если f(—x) = —f(x). В противном случае функция у = f(x) называется функцией общего вида.

V Пример 1.

Функция у = хп при четном п является четной функцией (так как f(—x) = (—х)п = хп = f(x)). Заметим, что отсюда и произошло само название четной функции.

Функция у = хп с нечетным показателем степени п является нечетной (f(—x) = (—х)п = —хп = — f(x)). Отсюда происходит название нечетной функции.

Функция у = х + х2 является функцией общего вида. Действительно, f(—x) = (—х) + (—х)2 = —х + х2 ф f(x) и f(—x) ф

График четной функции симметричен относительно оси ординат (например, график функции у = ж2), а график нечетной функции симметричен относительно начала координат (например, график функции у = х3). Поэтому для четной функции достаточно строить лишь правую половину графика (х ^ 0); левая половина его (х ^ 0) является зеркальным отражением правой относительно оси Оу. Чтобы построить график нечетной функции, достаточно изобразить правую половину его (ж ^ 0); левая половина графика (х ^ 0) получается в результате поворота правой на 180°.

Монотонность. Функция у = f(x) называется строго возрастающей (строго убывающей) на промежутке X, если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.

Более точно, функция у = f(x) называется строго возрастающей (строго убывающей) на промежутке X, если для любых двух значений х иж2, принадлежащих этому промежутку из неравенства Х2 > х следует неравенство f(x2) > f(x) (f(x2) < f(x)).

Строго возрастающие и строго убывающие функции называются строго монотонными функциями.

Если последнее неравенство является нестрогим, то говорят о нестрогом возрастании (нестрогом убывании) функции или просто о возрастании (убывании) функции.

Функция у = f(x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке X, если для любых двух значений х и Ж2, принадлежащих этому промежутку из неравенства х<х > х следует нестрогое неравенство f(x<i) ^ f(x) (f(x2) ^ f(x)).

Возрастающие и убывающие функции называются монотонными функциями.

V Пример 2. Функция у = х3 является строго возрастающей на всей действительной оси.

Функция у = х2 строго убывает при х Є (—оо; 0] и строго возрастает при х Є [0; —оо).

Функция у = 0,1х является строго убывающей на всей действительной оси. А

Ограниченность. Функция называется ограниченной на промежутке X, если существует такое положительное число М > 0, что f(x) < М для любого х Є X.

V Пример 3. Функция у = sin х ограничена на всей числовой оси, ибо | sin ж| ^ 1 для любого х Є Е.

Функция у = ж3 не является ограниченной на всей действительной оси, поскольку не существует такого положительного числа М > 0, что х3 < М для любого х Є Е. А

Периодичность. Функция у = f(x) называется периодической, если существует положительное число Т такое, что f(x + T) = f(x). Наименьшее число с таким свойством называется периодом функции.

Для построения графика периодической функции достаточно изобразить его на отрезке, длина которого равна периоду (основная область), а затем построить периодическое продолжение графика, повторяя график, нарисованный в основной области.