19.3. решение систем дифференциальных уравнений с помощью компьютерной математики

19.3. решение систем дифференциальных уравнений с помощью компьютерной математики

Команда dsolve, рассмотренная в гл. 18, позволяет решать также и системы дифференциальных уравнений. Покажем ее использование на конкретных примерах.

V Пример 1. Найти с помощью пакета Maple решение однородной линейной системы

dy удовлетворяющее начальным условиям

Уі(0)=0, у2(0) = 1.

Решение.

>sys:=diff(у(х),x)=y(x)+2*z(x), diff(z(x),x)=2*y(x)+z(x): >Y:={y(x),z(x)}: >dsolve({sys,y(0)=0,z(0)=l},Y);

{y(x) = е3ж " e~x, z(x) = e~x + і е3ж J .

Этот результат полностью согласуется с примерами 1 и 2 из п. 19.2. А

V Пример 2. Найти с помощью пакета Maple решение неоднородной линейной системы

^ = -8у1+Зу2 + 5е-*,

^ = -18yi + 7y2 + 12e-*,

удовлетворяющее начальным условиям

Уі(0) = 0, 1/2(0) = 1.

Решение.

>sys:=diff(у(х),x)=-8*y(x)+3*z(x)+5*exp(-x), diff(z(x),x)=-18*y(x)+7*z(x)+12*exp(-x): >Y:={y(x),z(x)}: >dsolve({sys,y(0)=0,z(0)=l},Y);

[y(x) = 2 ex 4 e~2x + 2 е"ж, z(x) = -8 e~2x + 6 ex + 3 е"ж} .

Этот результат согласуется с примером 3 из п. 19.2. А

Пакет символьных вычислений позволяет решать и те системы, методы решения которых не излагаются в настоящей книге.

Приведем пример решения системы дифференциальных уравнений, у которой соответствующее характеристическое уравнение не имеет действительных корней.

V Пример 3. Найти с помощью пакета Maple решение неоднородной линейной системы

= 2уг + у2(х) -Ь cos х,

< dy2 q —— = -у + 3 sin ж,

ах

удовлетворяющее начальным условиям

yi(0) = 2, у2(0) = -4.

Решение.

>sys:=diff(у(х),x)=2*y(x)+z(x)+cos(x), diff(z(x),x)=-y(x)+3*sin(x): >Y:={y(x),z(x)}:

>dsolve({sys,y(0)=2,z(0)=-4},Y); = ex + cos(x), z(x) = —ex — 3 cos(x) — sin(x) j. A

Если ты продашь мне рыбу, я буду сыт весь день; если научишь ее ловить, буду сыт всю жизнь.

Африканская пословица