Глава 21 применение аппарата дифференциальных и разностных уравнений в социально-экономической сфере 21.1. естественный рост и задача бернулли о кредитовании

Глава 21 применение аппарата дифференциальных и разностных уравнений в социально-экономической сфере 21.1. естественный рост и задача бернулли о кредитовании

В природе и обществе встречаются многочисленные процессы, в ходе которых некоторые величины изменяются по следующему закону: в течение любого промежутка времени фиксированной длительности At значение величины меняется в одно и то же число раз.

Обозначим через m(t) массу колонии бактерий в момент времени t. Если нет ограничений в количестве питательных веществ и объеме сосуда и притом отсутствуют живые существа, поедающие эти бактерии, то за равные промежутки времени масса колонии будет возрастать в одно и то же число раз.

Аналогично обстоят дела в любой совокупности живых существ при условии, что нет ограничений в пище и в пространстве и нет истребляющих их врагов. Растение курослеп трижды в год дает по 15 ООО семян; следовательно от одного растения могло бы произойти более 150003 = 3375 миллиардов растений. Сельдь откладывает 30 ООО икринок, карп — свыше миллиона, треска от 4 до 6 миллионов, солитер — около 42 миллионов, аскарида — приблизительно 64 миллиона. Даже при медленном размножении какого-либо вида животных территория могла бы быть в сравнительно короткое время буквально наводнена им, если бы борьба за существование между видами не ставила предела этому распространению. Если бы это препятствие на какое-то время исчезло, мы наблюдали бы неслыханное размножение животных. Расчеты показывают, что потомство одной пары мух за два года при беспрепятственном размножении имело бы массу, превосходящую массу Земли. Известны случаи, когда некоторые виды животных и растений, попав в благоприятные условия, размножались столь быстро, что становились бедствием (саранча в Африке, кролики в Австралии, водяной гиацинт в США и т. д.).

Процессы, в которых величина увеличивается за равные промежутки времени в одно и то же число раз, называют процессами естественного роста.

Сумма вклада в Сбербанке за данный промежуток времени возрастает в одно и то же число раз (скажем, за год на 5 \%). Эта сумма подчинена закону естественного роста.

При распаде ядер во время цепной реакции образуются нейтроны. Чем больше свободных нейтронов в данном объеме, тем чаще они сталкиваются с ядрами и тем больше новых нейтронов появляется. Процесс увеличения количества свободных нейтронов также представляет собой процесс естественного роста.

Если допустить, что значение величины y(t) меняется в одно и то же число раз не в течение промежутка фиксированной длительности At, а мгновенно, то мы приходим к процессу, при котором скорость изменения величины v(t) в момент времени t пропорциональна значению этой величины в тот же момент времени. Уравнение, описывающее этот процесс, можно записать так:

v{t) = ky{t).

Так как v(t) = yf(t), то получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

y'(t) = ky(t).

(21.1)

Уравнение (21.1) называют дифференциальным уравнением естественного роста. Впервые его получил Якоб Бернулли. Им же была решена следующая задача.

V Пример (задача о кредитовании). Пусть заимодавец платит кредитору р \% процентов от занятой суммы уо за год; сколько он должен уплатить за год на каждую единицу занятой суммы, если проценты нарастают непрерывно?

Решение. Поскольку проценты нарастают непрерывно, то скорость y'(t) изменения величины долга y(t) в момент времени t пропорциональна значению этой величины в тот же момент времени. Следовательно, закон изменения долга описывается дифференциальным уравнением (21.1).

Найдем общее решение этого уравнения. Разделяя переменные в уравнении (21.1), имеем

*L = kdt.

у

После интегрирования обеих частей находим

lny = kt + In С,

откуда следует, что общим решением уравнения (21.1) является показательная функция

y(t) = Cekt.

Поскольку ежегодный прирост величины y(t) составляет р\%, то скорость изменения величины составляет р/100 от y(t) и коэффициент к = р/100. Кроме того, по условию задачи у(0) = уо. Поэтому сумма, которую заимодавец должен уплатить кредитору от занятых уо денежных единиц за t лет, составит

y(t) = у0ехр(рі/Ж). (21.2)

От каждой единицы занятой суммы заимодавец обязан уплатить y(t) = ехр(р£/100). А за год эта сумма составит у{1) = = ехр(р/100) денежных единиц. А

Уравнение (21.2) с к = р/100 может быть применено не только при изучении кредитования. Оно применяется всякий раз, когда скорость изменения некоторой величины y(t) прямо пропорциональна ее значению в данный момент времени £, а ежегодный прирост равен р \%.