7.2. модель общего экономического равновесия вальраса

7.2. модель общего экономического равновесия вальраса

Народное хозяйство состоит из / домашних хозяйств, потребляющих n разновидностей благ, для изготовления которых применяется m различных факторов производства. Предпочтения домашних хозяйств относительно благ и факторов производства заданы их функциями полезности

Ui = U(Qi1, Qi2,•••, Qiw Fib Fi2,•^^, Fim); i = 1 ^--м /,

где Qij — количество j-го блага (j = 1, 2,-.., n), потребляемого i-м индивидом; Fit — количество t-го фактора производства (t = 1, 2,-.., m), имеющегося у индивида.

Бюджет потребителя формируется в результате продажи принадлежащих ему факторов производства:

m

M i =Е rt Fit ■ (7.7)

При заданной функции полезности индивида и его бюджетном ограничении можно вывести индивидуальные функции спроса на блага (см. 1.1) и предложения факторов производства (см. 6.1). В модели общего равновесия эти функции принимают с учетом взаимозависимости всех цен следующий вид:

Qj = f (P1> P2v ■ ■ * Pn * r1 * r2 >■■■ * rm ) j = 1,2,...* n;

Рыночные функции спроса и предложения образуются в результате сложения индивидуальных функций:

l

=i =i

Каждый вид благ производится многими конкурирующими фирмами по технологии, представленной соответствующей производственной функцией. Для упрощения модели предполагается, что каждая фирма производит лишь один вид благ. При заданной технологии и известных ценах благ и факторов производства фирма, максимизирующая прибыль, формирует функцию предложения блага (см. 1.4) и функцию спроса на факторы (см. 6.2). Сумма предложений всех фирм, производящих одно и то же благо, образует отраслевое предложение

Qj =Ф(Р, PiPn, 1, r2rm );

На основе выведенных функций строится микроэкономическая модель общего экономического равновесия, состоящая из трех групп уравнений, представляющих:

условия равновесия на рынках благ

Qf (P1'P2,Pn , r1 > r2> rm ) = Qj (P1 > P2>Pn> r1 > r2> rm );

j = 1, 2,..., и; (7.8)

условия равновесия на рынках факторов производства

t = 1, 2,..., ш; (7.9)

бюджетные ограничения фирм в условиях совершенной конкуренции в виде равенства общей выручки общим затратам

m

pjQSj =1 ГFf; j = 1,2,...,n. (7.10)

t=1

Система уравнений (7.8) — (7.10) содержит (2и + ш) неизвестных (Pj, rti Qi) и столько же уравнений. Но независимыми являются только (2и + ш 1) уравнений. Это вытекает из бюджетного ограничения каждого потребителя.

Так, если в экономике используются два фактора производства (L, K) и производятся два блага (А, В), то для каждого экономического субъекта выполняется равенство

PAQDA + + rL I? + rK KD = PAQSA + PBQSB + rL L + rK Ks. (7.11)

Равенство (7.11) означает, что расходы субъекта на покупку благ и факторов производства (левая часть) равны его доходам от продажи благ и предоставления услуг труда и капитала (правая часть). Представим его в другом виде

Pa (Qf -QA) + Pb (Qf -Qb ) + Ъ (LD -Ls ) + rK (kd -KS) = 0.

В скобках представлен результат сделок экономического субъекта на каждом из рынков. Из-за бюджетного ограничения суммарный результат равен нулю.

Сложив результаты сделок всех участников на всех рынках, получим следующее равенство:

Pa (Q DfL-QAx ) + Pb (Qf QBx ) + rL (Lf L|) + Гк (K£ K|) = 0. (7.12)

Каждое из слагаемых правой части равенства (7.12) характеризует конъюнктуру на отдельном рынке. Если оно равно нулю, то на рынке достигнуто равновесие; в противном случае на рынке существует дефицит или избыток. Из равенства (7.12) вытекают два важных свойства национальной экономики.

Во-первых, при отсутствии общего экономического равновесия сумма избытков на одних рынках равна сумме дефицитов на других.

Во-вторых, если некоторая система цен обеспечивает равновесие на любых трех рынках (превращает в нуль разность в любых трех скобках равенства (7.12)), то равновесие будет и на четвертом рынке (нулю будет равна и разность в четвертой скобке). Этот вывод, верный для любого числа рынков, назван законом Вальраса.

В соответствии с законом Вальраса система уравнений (7.8) — (7.10) содержит только (2и + ш 1) независимых уравнений. Чтобы она могла иметь решение, необходимо либо добавить еще одно независимое уравнение, либо исключить одно неизвестное. Первый вариант используется в макроэкономике; в качестве дополнительного берется уравнение, определяющее равенство спроса и предложения на денежном рынке. Второй вариант применяется в микроэкономике. Для объяснения микроэкономических явлений достаточно знать систему относительных цен, которая основана на том, что определенное количество одного товара служит масштабом цен при измерении ценности всех других товаров. Цена избранного товара принимается за единицу и в системе уравнений (7.8) — (7.10) число неизвестных оказывается равным числу независимых уравнений.

1 Маленво Э. Лекции по микроэкономическому анализу. М., 1985. С. 141 — 154.

Как известно из математики, само по себе такое равенство не гарантирует существования решения соответствующей системы уравнений, особенно если искомые переменные должны иметь положительные значения. В этом мы могли убедиться в 7.1. Тем не менее доказано1, что при наложении ряда экономически приемлемых ограничений на характер функций и значения аргументов модели типа уравнений (7.8)—(7.10)

можно определить вектор равновесных цен. Доказательство этого утверждения требует использования сложных математических выкладок. Поэтому ограничимся нахождением общего экономического равновесия на условном числовом примере.

Пример 7.1. Экономика состоит из двух представительных домашних хозяйств, потребляющих два блага (А и В), и двух представительных фирм, одна из которых производит благо А, другая — благо В. Хозяйство ведется в условиях совершенной конкуренции, поэтому каждый из его участников воспринимает цены в качестве экзогенных параметров.

Предпочтения домашних хозяйств относительно потребляемых благ и свободного времени (соответственно труда) выражаются их функциями полезности

U = (Qai -10)0,5 x(Qbi 6)°'3х(16 L, )0,2 ;

U2 =(Qa2 -8)°'3x(Qb2 -4)°,6x(16-L2)°Д .

Доходы (бюджеты) домашних хозяйств складываются из их заработной платы и прибыли фирм, которая целиком выплачивается собственникам капитала, т.е. домашним хозяйствам. Таким образом, прибыль представляет собой оплату услуг капитала (п = rKK); экономическая прибыль из-за условий совершенной конкуренции равна нулю.

Примем, что первому домашнему хозяйству принадлежит весь капитал, используемый фирмой А, а второму — фирмой В. Тогда бюджетные уравнения домашних хозяйств имеют вид

+ гЦ;

paq A1 + pbQb1 -paqa2 + pbqb 2

: 40LB

Технология производства благ задана производственными функциями короткого периода

Л6І?а

По этим исходным данным, используя знание материала предыдущих глав, можно найти вектор равновесных цен и на его основе определить все результаты функционирования рассматриваемого хозяйства: объемы производства каждого из благ; доходы, а также объем и структуру потребления каждого домашнего хозяйства; объемы спроса на труд каждой фирмы и качества предложения труда каждым домашним хозяйством.

-rLA.

Начнем с производства и предложения благ. Функции спроса фирм на труд выводятся из условия максимизации прибыли. Прибыль фирмы А

Л6РА Г/

2

( 8PA

r0,5

dLA

Она достигает максимума при dn A 0,5х 16PA

= 0 == І»

-rL„

Соответственно прибыль фирмы В

\%„ = 40РЯ Lb

ч4/3

10PH

D

= 0 == І

она достигает максимума при

d nB = 0,25 х 40PB

~dEb = lB75

64P2

8P

=16PA

Теперь прибыль фирм можно представить функциями от вектора цен

( 8Pa *

10 Pb

10 Pb

r

100

ч4/3

= 40P„

128P

Подставив функции спроса на труд в производственные функции, получим функции предложения благ

= 133,3

+Р

Поведение потребителей на каждом из рынков предопределяется их стремлением максимизировать свои функции полезности при заданных бюджетных ограничениях. Перед первым потребителем стоит задача максимизировать следующую функцию Лагранжа:

Ф, = (Qai -10)°'5x(Qbi -6f x(16-L,)°2-ЦРа>

Отсюда выводятся функции его спроса на блага и предложения труда1

kA1

0,5лА + 8r 3P„

5+

Pa

ЗД1

Рв

0,2п A 2PA -1,2PB

0,3лА + 4,8r 3PA

= 4,2 + 12,

r

rL2

Для второго потребителя функция Лагранжа имеет вид

Ф 2 = (QA2 8 X(QB 2 4 )°6х (16 L2 ^ (PAQA2 + PBQB 2 < -2 j

Из условий ее максимизации выводятся следующие функции спроса на блага и предложения труда второго потребителя:

A2

-1,2P„

: 5,6 +

См. Математическое приложение 1.

PA

r

S , 0,1пй -0,8PA -0,4PB

Ls2 = 14,4 —'—S- -—- -—-.

Теперь имеются все функции для построения модели общего экономического равновесия Вальраса:

Q(P-, P-, r) + qd-2 (P-, P-, r) = Q-S (P-, r);

LDA (P-,r) + L(P-,r) = Is (P-,P-,r) + L2 (P-,P-,r).

10,6 +

Поскольку в данной системе, состоящей из трех уравнений с тремя неизвестными, в соответствии с законом Вальраса одно уравнение производно от других, то примем r = 1. После этого цены благ определятся из совместного решения двух первых уравнений. Заменив в функциях домашних хозяйств пА и пВ их найденными выше значениями, после преобразований получим

96P12,8 4,2 P +19,4 P-;1

PP-=0,493; P-=0,484.

с 0 14,4-7,8P+19,2Pлп ,,3

5,8 + — -—- -—— = 47,4PРезультаты хозяйственной деятельности при таких ценах представлены в табл. 7.1 и 7.2 и на рис. 7.4.

7.3. Конкурентное равновесие и общественное благосостояние

Является ли состояние общего экономического равновесия, устанавливающееся в условиях совершенной конкуренции, наилучшим для общества при заданных предпочтениях членов общества и производственных возможностях? Ответ на этот вопрос предполагает знание ответа на другой: как измерять изменение благосостояния общества?

Для оценки изменения благосостояния индивида в гл. 2 был введен специфический инструмент экономического анализа — функция индивидуальной полезности, основанная на гипотезах количественного или порядкового измерения индивидуальной полезности. Попытка построить функцию общественной полезности (благосостояния) осложняет-

В самом общем виде функцию общественного благосостояния можно представить в виде возрастающей функции от благосостояния отдельных членов общества:

W = W(U1, U2,Ul); dW/dUt > 0, i = 1,..., /.

Но посредством какого оператора перевести индивидуальные полезности в общественную?

Если общественное благосостояние рассматривать как сумму блаl

госостояний его членов: W = , то перераспределение доходов или

i=1

имущества между членами общества не изменяет общественного благосостояния, так как от перестановки слагаемых их сумма не меняется. Если же общественное благосостояние представить в виде произl

ведения индивидуальных полезностей: W = , то степень диффеi=1

ренциации индивидуальных благосостояний существенно влияет на уровень благосостояния общества; в соответствии с этим критерием наилучшим является уравнительное распределение.

Пример 7.2. Сумма доходов трех индивидов равна 12. Когда все получают поровну, тогда общественное благосостояние будет (4 ■ 4 ■ 4) = 64. При введении любой дифференциации в доходах оно снизится; например, (8 ■ 3 ■ 1) = 24.

Оригинальный способ оценки изменения общественного благосостояния, не базирующийся на сомнительной предпосылке о аддитивности показателей индивидуальной полезности, предложил американский философ Д. Роулз1. Его функция общественного благосостояния имеет вид

W = min{U1, U2, ... , Щ.

В соответствии с ней общественное благосостояние растет только в том случае, если оно повышается у самых бедных членов общества, а изменение благосостояния других не влияет на благосостояние общества.

1 Rowls D. A Theory of Justice. Cambridge, 1971.

Некоторые рекомендуют в современной экономике судить об изменении общественного благосостояния по тому, как меняется благосостояние «среднего класса».

Казалось бы, оценку влияния дифференциации доходов на общественное благосостояние в каждом конкретном случае можно поручить самим членам общества, решая судьбу наиболее значимых социально-экономических программ посредством референдума. Поскольку каждый будет оценивать программу по тому, как она меняет его благосостояние, то в случае ее поддержки большинством можно считать, что эта программа повышает общественное благосостояние. Однако такой способ общественной оценки последствий экономических мероприятий небезупречен по двум причинам.

Во-первых, остается проблема сравнения суммарного выигрыша большинства с суммарным проигрышем меньшинства. Повысилось ли благосостояние общества в результате строительства (или отказа от строительства) химического комбината на месте лесопарка, если решение было принято на основе голосования по большинству? Н. Калдор1 предложил отвечать на подобные вопросы на основе сравнения денежных сумм, которые сторонники проекта согласны заплатить за его осуществление, а противники — за отказ. Первая сумма выражает полезность планируемого мероприятия для его сторонников, а вторая — вред для его противников. Если денежная оценка пользы превышает денежную оценку вреда, то осуществление проекта увеличивает общественное благосостояние, так как из суммы, уплачиваемой сторонниками проекта, можно с избытком компенсировать ущерб противников.

Но эти суммы несопоставимы из-за неодинаковой предельной полезности денег: у богатых она ниже, чем у бедных. Поэтому, если несколько богатых индивидов готово заплатить за строительство комбината больше, чем основная масса со средним и низким достатком, голосовавшая против, то все равно не ясно, является ли замена лесопарка химическим комбинатом благом для общества.

Во-вторых, если группе индивидов нужно выбрать лучшую из трех или более альтернатив, то при выборе на основе голосования по простому большинству может возникнуть «парадокс Кондорсе2». Допустим, в парламенте обсуждаются три варианта подоходного налогообложения, различающихся по степени дифференциации налоговых ставок (табл. 7.3). Примем также, что каждая группа населения имеет в парламенте одинаковое число представителей.

Какой проект будет выбран на основе голосования по большинству?

При выборе между проектами I и II представители первых двух групп населения составят большинство в пользу проекта II. Тогда проигравшие представители высокооплачиваемой группы населения объединятся с представителями наиболее бедной части населения и проведут проект III. Теперь представители двух последних групп населения образуют большинство в пользу проекта I, и перебор проектов пойдет по второму кругу.

Таким образом, если хозяйственное мероприятие не только меняет, но и перераспределяет благосостояние членов общества, то нельзя однозначно оценить его влияние на благосостояние общества. Поэтому В. Парето1 предложил критерий экономической эффективности, нейтральный к распределению благосостояния между индивидами. В соответствии с ним некоторое мероприятие повышает благосостояние общества, если в результате его осуществления повышается благосостояние хотя бы одного индивида без ухудшения благосостояния других. Если при некотором состоянии экономики никакие изменения в производстве и распределении не могут повысить благосостояние хотя бы одного субъекта, не снижая благосостояния других, то такое состояние называется Парето-эффективным.