1.1. производственная функция и техническая результативность производства

1.1. производственная функция и техническая результативность производства

Производство есть процесс преобразования одних благ в другие: факторов производства в готовую продукцию. Зависимость между количеством используемых факторов производства и максимально возможным при этом выпуском продукции называют производственной функцией.

Все факторы производства можно представить в виде трех агрегатов: труд, капитал (орудия и средства труда, включая природные ресурсы) и уровень научно-технических знаний (научно-технический прогресс). Научно-технический прогресс (НТП) является основным фактором увеличения результативности современного производства, но в отличие от труда и капитала он не имеет самостоятельной вещественной формы и проявляется в виде совершенствования средств производства и повышения квалификации работников. Поскольку микроэкономика изучает процесс ценообразования как механизм согласования индивидуальных целей взаимосвязанных экономических субъектов в заданных условиях, то уровень развития НТП предполагается заданным. В этом случае объем выпуска продукции ( Q) зависит от количества и качества только двух совместно применяемых факторов производства труда (L) и капитала (К), т.е. производственная функция имеет вид Q = Q(L,K). Переход к новой технологии отображается изменением оператора производственной функции — характера зависимости выпуска от объемов используемых факторов производства1.

Все параметры производственной функции являются натуральными величинами потока, имеющими размерность количество/время. Если, например, при оптимально организованном производстве за 1 час 5 рабочих на 3 станках изготовляют 20 деталей, то Q = 20 шт./час, L = 5 час. труда, K = 3 станко-часа. Для краткости в дальнейших примерах размерность параметров будем опускать.

Конкретный вид производственной функции устанавливается на основе наблюдений за тем, как меняется объем выпуска по мере изменения применяемых объемов труда и капитала.

Короткий и длительный периоды. Возможности изменить используемые в производстве объемы труда и капитала неодинаковы. Если спрос на продукцию фирмы возрастает, то на первых порах увеличение производства достигается за счет дополнительного привлечения труда на те же производственные мощности, поскольку для расширения последних, как правило, требуется больше времени. В связи с этим вводятся понятия «короткий» и «длительный» периоды.

Время, в течение которого нельзя изменить объем одного из используемых в производстве факторов, называют коротким периодом. В свою очередь фактор, объем которого нельзя изменить в коротком периоде называют постоянным, а фактор, объем использования которого меняется по мере изменения выпуска, — переменным. Время, достаточное для изменения объемов обоих факторов производства, — это длительный период, и поэтому в нем все факторы являются переменными.

Соотношение между количеством выпускаемой за определенное время продукции (output) и количеством используемых для ее изготовления факторов производства (input) назовем технической результативностью производства. В коротком и длительном периодах она измеряется по-разному.

Техническая результативность производства в коротком периоде. Примем, что переменным фактором является труд. Тогда в коротком периоде у производственной функции остается одна переменная — количество используемого труда. Типичная зависимость между выпуском продукции и количеством труда, применяемого при фиксированном объеме капитала, представлена на рис. 1.1. В алгебраическом виде эта функция записывается следующим образом:

Q = aL + bL2 d3,

где а, b, с — вещественные коэффициенты, определяемые технологией производства.

q Результат первых порций затраченного труда, присоединяемый к заданному объему капитала, как правило, обеспечивает увеличение выпуска, опережающее рост количества вовлекаемого в производство труда (график общего выпуска ТР (total product) загибается к оси ординат). Если в цехе с двумя десятками станков численность работающих возрастает с 5 до 10 человек, то выпуск, скорее всего, увеличится более чем в 2 раза, а 20 рабочих могут более чем вдвое повысить объем производства по сравнению с 10 рабочими. Ускоренный рост выпуска продолжается до определенного соотношения K /La, где K — фиксированный объем капитала. При более интенсивном использовании данных производственных мощностей за счет дальнейшего увеличения применяемого труда рост выпуска начинает отставать от роста труда (график ТР загибается к оси абсцисс). После достижения определенного объема использования труда Lc общий выпуск начинает уменьшаться. Поэтому участок кривой ТР за точкой С на рис. 1.1 экономисты не рассматривают.

Для количественной характеристики технической результативности производства в коротком периоде применяют три взаимосвязанных показателя: среднюю производительность, предельную производительность и эластичность выпуска по переменному фактору.

Отношение общего объема выпуска к общему количеству используемого переменного фактора (Q/L) называют средней производительностью переменного фактора АР (average product). Графически она представляется наклоном Q прямой, соединяющей точки кривой ТР с началом координат. На рис. 1.2 средняя производительность труда при его использовании в объеме L1 единиц равна tga. Средняя производительность труда по мере увеличения его количества при данном объеме капитала сначала повышается (на рис. 1.2 до точки В), а затем снижается.

Приращение общего выпуска при увеличении количества используемого труда на единицу называют предельной производительностью труда МР

(marginal product). Алгебраически она представляется как производная функции общего выпуска по труду: МРі = dQ/dL. Графически предельная производительность труда при использовании L1 единиц труда соответствует на рис. 1.2 величине tgp

Пока капиталовооруженность труда не достигнет величины K/La, его предельная производительность растет быстрее средней. При дальнейшем снижении капиталовооруженности труда его предельная производительность уменьшается, а средняя продолжает расти. Это приводит к тому, что оба показателя принимают одинаковые значения при

капиталовооруженности труда K /LB. Дальнейшее увеличение количества используемого труда сопровождается снижением и средней, и предельной производительности, но общий выпуск еще некоторое время растет.

Обратим внимание на две примечательные особенности: 1) снижение средней производительности переменного фактора начинается тогда, когда значения предельной и средней производительностей становятся равными (в точке В на рис. 1.2 tga = tgP); 2) после достижения определенной капиталовооруженности труда K/LA его предельная производительность монотонно снижается, т.е. начинает действовать так называемый «закон снижающейся предельной производительности» переменного фактора производства.

На основе изменения tga и tgP по мере увеличения количества используемого труда можно построить кривые его средней и предельной

мр ар производительностей (рис. 1.3).

о

100AQ L

AL Q.

Еще одной характеристикой технической результативности производства в коротком периоде служит коэффициент эластичности выпуска ^ql) по переменному фактору. Он показывает, на сколько процентов изменится выпуск при изменении объема переменного фактора на 1\%:

bq,l

L

AQ /100AQ

Соотношение между тремя показателями технической результативности переменного фактора производства выражается следующим равенством:

^q,l = MPl/APl .

По рис. 1.3 можно заметить, что при увеличении количества используемого труда от 0 до LB имеет место Єq,l > 1; при L = LB коэффициент zql = 1; в интервале LB < L < LC эластичность выпуска по переменному фактору убывает от 1 до 0, а при использовании заданного объема капитала и количестве труда больше LC коэффициент эластичности принимает отрицательное значение.

Таким образом, техническая результативность производства в коротком периоде проходит четыре стадии (I—IV), представленные в табл. 1.1 (на рис. 1.2 и 1.3 они отделены друг от друга точками A, В и C).

Практический аспект проведенного анализа заключается в том, чтобы определить, какой объем переменного фактора целесообразно использовать в коротком периоде. Очевидно, что на стадии I надо увеличивать количество используемого труда, а переходить в стадию IV экономически нецелесообразно. Стоит ли переходить в стадии II и III? Для ответа на этот вопрос кроме технологии нужно знать цены производимой продукции и факторов производства. После того как они будут введены в наш анализ, можно будет ответить на поставленный вопрос.

При использовании показателей средней и предельной производи-тельностей, а также эластичности весь выпуск как бы вменяется только одному, переменному фактору. Но с не меньшим основанием результат производства можно «приписать» постоянному фактору. Его средняя производительность (APK = Q/K) повышается при увеличении количества применяемого труда до тех пор, пока растет общий выпуск. Но поскольку в коротком периоде решения принимают по поводу объемов использования переменного фактора, то определяют показатели его результативности.

Техническая результативность производства в длительном периоде. Так как в длительном периоде меняется не только количество используемого в производстве труда, но и объем капитала, то производственную функцию в нем можно представить в виде множества производственных функций в коротком периоде, различающихся объемами капитала. Шесть таких функций приведены в табл. 1.2. В столбцах показано изменение выпуска по мере увеличения труда при фиксированных объемах капитала, а в строках — при росте капитала и неизменных объемах труда. В целом это есть табличная форма представления производственной функции в длительном периоде.

в-

Данные, приведенные в табл. 1.2, отражают «закон снижающейся предельной производительности и труда, и капитала». Это выражается в том, что значения величин в столбцах и строках растут медленнее, чем значения, отражающие увеличение соответственно количества применяемого труда и объема капитала. Эту особенность производственной функции в длительном периоде необходимо учитывать при выборе алгебраической формы ее представления. Для данной цели не подходит, например, функция вида Q = aL+ bK, где а и b — константы, так как в этом случае предельные производительности факторов производства неизменны.

Типичной формой производственной функции в длительном периоде является степенная функция вида:

Q = ALaK?,

где А, а, в — положительные числа, характеризующие технологию производства.

Широкое применение в экономическом анализе получила функция Кобба — Дугласа1

Q = LlK1-а.

Таблица 1.2 представляет именно такую функцию. В ней данные, округленные до целых чисел, соответствуют формуле Q = L0,75K0,25.

MPl AP,

Показатели степеней а и в производственной функции равны коэффициентам эластичности выпуска по факторам

l

aAK вЬа~1

а;

AK ^La~

При попытке оценить результативность производства в длительном периоде путем деления общего выпуска продукции на количество используемых факторов возникает затруднение из-за того, что нельзя суммировать число рабочих с числом станков или гектарами земли. Тем не менее определенную характеристику технологии можно получить, наблюдая за изменением выпуска при изменении объемов обоих факторов производства в одно и то же число раз, т.е. меняя масштаб производства. Результат воздействия на выпуск пропорционального изменения обоих факторов называют эффектом масштаба (returns to scale)1.

Рост объемов труда и капитала в n раз может сопровождаться увеличением выпуска: 1) в n раз; 2) более чем в n раз; 3) менее чем в n раз. В первом случае говорят, что технология имеет неизменный эффект масштаба, во втором — растущий и в третьем — снижающийся. В табл. 1.3 приведены числовые примеры для каждого из них.

Поскольку показатели степеней в производственной функции Q = ALL Kв показывают, на сколько процентов возрастет выпуск при увеличении соответствующего фактора производства на 1\%, то при

а + в = 1 постоянный эффект масштаба; при а + в > 1 — растущий, а при а + в < 1 — снижающийся.

Для графического представления производственной функции в длительном периоде в двухмерном пространстве используют семейство линий равного выпуска. Линия равного выпуска, или изокванта, представляет множество различных сочетаний объемов труда и капитала, при которых достигается один и тот же объем выпуска. Из табл. 1.2 следует, что 57 ед. продукции можно выпустить при трех различных комбинациях труда и капитала: K1 = 50, L1 = 60; K2 = 30, L2 = 70; K3 = 20, L3 = 80. Кроме этих трех комбинаций труда и капитала существует

множество других, при которых по технологии, характеризующейся производственной функцией Q = L°'75 K °'25, тоже можно произвести 57 ед. продукции. Соединив все точки, представляющие эти комбинации в системе координат K,L, получим изокванту 57. Аналогично строится изокванта для любого другого объема выпуска, в результате производственная функция в длинном периоде предстает в виде семейства или карты изоквант (рис. 1.4).

Изокванта является одним из основных инструментов графического анализа технической результативности производства. Поэтому выясним, чем определяются ее конфигурация и расположение в пространстве K, L.

Поскольку производственная функция выражает зависимость между количеством используемых факторов и максимально возможным выпуском, то изокванта представляет множество сочетаний минимально необходимых объемов труда и капитала для заданного выпуска. Это означает, что изокванта не может иметь положительный наклон. Допустим, что она имеет вид, изображенный на рис. 1.5. В таком случае все точки изокванты, расположенные вне дуги АВ, представляют неэффективные варианты производства 57 ед. продукции. Так, точка С соответствует варианту производства при использовании КС единиц ка

питала и Lc единиц труда. Но 57 ед. продукции с такими же затратами труда можно произвести, применяя лишь KD единиц капитала.

К А

Kd +j

Кп— J-_

Расположение изокванты относительно осей координат определяется соотношением эластичностей выпуска по факторам производства (рис. 1.6). Если £q,l= 6q,k, то изо-кванта симметрична биссектрисе, исходящей из начала координат. При Eql > Eqk она имеет относительно

больший наклон к оси, на которой откладывается объем труда, а при наоборот. Карта изоквант наглядно отображает эффект масштаба. Изокванты, соответствующие Q = Q0, Q = 2Q0, Q = 3Q0, Q = nQ0, при технологии с постоянным эффектом масштаба располагаются относительно друг друга на одинаковом расстоянии. При технологии с растущим эффектом от масштаба они приближаются друг к другу по мере увеличения выпуска, а с уменьшающим отодвигаются (рис. 1.7).

Взаимозаменяемость и эластичность замещения факторов производства. Изокванта наглядно представляет взаимозаменяемость факторов производства: заданный объем продукции можно эффективно произвести при различных сочетаниях труда и капитала (различной капиталовооруженности труда). В какой пропорции один из факторов можно заменить другим, зависит от исходной капиталовооруженности

труда. Рассмотрим еще раз рис. 1.5. При переходе от сочетания КА, LA к сочетанию KD, LD на каждую дополнительную единицу труда высвобождается больше капитала, чем при переходе от сочетания KD, LD к сочетанию KB, LB. Это связано с тем, что дуга AD имеет более крутой наклон к оси абсцисс, чем дуга DB.

Мерой взаимозаменяемости факторов производства служит предельная норма технического замещения MRTS (marginal rate of technical substitution), которая показывает, на сколько единиц можно уменьшить один из факторов при увеличении другого на единицу, сохраняя выпуск неизменным. Предельная норма технического замещения труда капиталом

MRTSKL = -— ,

AK Q = const

а предельная норма технического замещения капитала трудом MRTSLK = — .

AL Q=const

Величина MRTS факторов производства определяется их предельной производительностью. В этом можно убедиться на основе следующих рассуждений. При увеличении количества труда на AL выпуск возрастает на ALxMPL, а уменьшение объема капитала на AK снижает его на AKx MPK. Следовательно, увеличение количества применяемого труда полностью компенсирует сокращение объема капитала, если выполняется следующее равенство:

AK AL

MP, aAK PL

Определим предельную норму замещения капитала трудом при технологии Q = ALaKP:

(1.2)

a-1

MRTS

L,K

MPr,

aK PL .

1 к PAK

Графически MRTS представляется тангенсом угла наклона касательной к изокванте в точке, указывающей необходимые объемы труда и капитала для производства заданного объема продукции.

В некоторых видах хозяйственной деятельности труд и капитал вообще не могут заменить друг друга и должны использоваться в фиксированной пропорции: 1 рабочий — 2 станка, 1 самолет — 10 членов экипажа. В этом случае технология производства отображается производственной функцией Леонтьева1:

Q = min {{а; Kjb},

где a и b — технологически необходимый расход соответственно труда и капитала на единицу продукции.

Если, например, на каждом автобусе дальнего следования должно быть два водителя, то при наличии в автобусном парке 50 автобусов и 90 водителей одновременно могут обслуживаться только 45 маршрутов: min {902; 50/1} = 45. При технологии Леонтьева MRTS = 0.

MRTS

AMRTS = Ay

MRTS = AMRTS ^ у

Из равенства (1.1) следует, что при заданной технологии каждой величине капиталовооруженности труда (точке на изокванте) соответствует свое соотношение между предельными производительностями факторов производства. Иначе говоря, одной из специфических характеристик технологии является то, как сильно меняется соотношение предельных производительностей капитала и труда при небольшом изменении капиталовооруженности. Графически это отображается степенью кривизны изокванты. Количественной мерой этого свойства технологии является эластичность замещения факторов производства, которая показывает, на сколько процентов должна измениться капиталовооруженность труда, чтобы при изменении соотношения произ-водительностей факторов на 1\% выпуск остался неизменным. Обозначим K/L = у, тогда эластичность замещения факторов производства

Aw

о = —Q =const

С учетом равенства (1.2) легко заметить, что а = 1 при технологии Q = ALlK3.

Кроме производственных функций Кобба — Дугласа и Леонтьева в экономическом анализе широко применяют производственную функцию с постоянной эластичностью замещения факторов производства CES (constant elasticity substitution).

Q = [lL p+(1 -l)K p]p

У такой функции а = 1j (1 р), т.е. эластичность замены постоянна, но не обязательно равна единице. Производственные функции Кобба — Дугласа и Леонтьева являются частными случаями функции CES: если р — 0, то а — 1, а если р — °°, то а — 0.

Ломаная изокванта. По технологии Кобба — Дугласа заданный объем продукции можно произвести при любой капиталовооруженности труда, по технологии Леонтьева она однозначно задана. На практике эти два крайних варианта встречаются редко. Чаще всего заданный объем продукции можно произвести при ограниченном числе различных сочетаний труда и капитала. В этих случаях от изокванты остается

лишь несколько точек. Но если существуют хотя бы два варианта выпуска заданного объема продукции с постоянным эффектом масштаба, то их можно применять одновременно, производя одну часть заданного выпуска по одному варианту, а оставшуюся — по другому. В результате получим множество дополнительных вариантов производства заданного объема продукции. Это множество представляет отрезок, соединяющий точки двух исходных вариантов. Рассмотрим сказанное на примере рис. 1.8.

Произвести 70 ед. продукции можно используя либо KA и LA , либо КВ и LB. Обе технологии имеют неизменный эффект масштаба. Если по технологии, представленной точкой А, произвести только 42 ед. продукции, то потребуется KH = 0,6KA единиц капитала и LH = 0,6LA единиц труда (точка Н). Оставшиеся 28 ед.

произведем по технологии В. Необходимые для этого количества факторов производства можно определить следующим образом. Из точки Н проведем прямую, параллельную лучу 0В, до пересечения с отрезком АВ. Из точки их пересечения G проведем прямую, параллельную лучу 0А, до пересечения с лучом 0В. Точка пересечения F укажет искомые значения количества труда и объема капитала для производства 28 ед. продукции по технологии В. Так как по построению KF + KH = KG и LH + LF = LG, то точка G наряду с точками А и В представляет один из множества вариантов выпуска 70 ед. продукции.

Изменение доли заданного выпуска, производимой по каждой из двух технологий А и В, на рис. 1.8 отображается скольжением точки Н по лучу 0А. Вслед за движением точки Н точка G будет перемещаться по отрезку АВ, указывая на общие объемы труда и капитала, необходимые для производства заданного выпуска одновременно по двум вариантам. Следовательно, каждая точка на отрезке АВ представляет сочетания определенных количеств труда и капитала, позволяющих произвести заданный объем продукции.

Поэтому если, например, имеются только три варианта выпуска заданного объема продукции, представленные на рис. 1.9 точками A, В и С, то отрезки АВ и ВС образуют ломаную изокванту.

Проведенный в данном разделе анализ технологического соотношения «ресурсы — выпуск» («input — output») необходим, но недостаточен для принятия фирмой решения относительно вида и масштаба производства. Экономический результат хозяйственной деятельности определяется на основе сопоставления объемов израсходованных факторов производства и выпущенной продукции в ценностной измерении. При этом используют понятия «затраты (издержки) производства», «выручка», «прибыль».