13.2. модель солоу
13.2. модель солоу
Модель Солоу, впервые предложенная им еще в 1956 г., является наиболее известной моделью ЭР. Модель построена в рамках предпосылок неоклассической школы: совершенной конкуренции, гибкости цен, взаимозаменяемости факторов производства и полной занятости.
Постановка и формализация модели Солоу.
Модель Солоу является простой моделью, то есть в ней представлены только домохозяйства и фирмы. Для анализа экономической динамики используется производственная функция вида 13.1.
В целях упрощения анализа предполагается, что некоторые параметры экономики являются константами:
доля работающих в общей численности населения;
темп роста населения (и трудовых ресурсов) AN/N = п;
доля амортизируемого капитала в общем объеме капитала d-K, где d — норма аммортизации;
доля сбережений в национальном доходе (средняя норма сбережений) Sy.
Вследствие взаимозаменяемости факторов капиталовооруженность труда не является постоянной величиной, а изменяется в различные промежутки времени. Забегая вперед, отметим, что именно капиталовооруженность труда является параметром, обеспечивающим динамическое равновесие в экономике.
Предположим, что технология производства постоянна, то есть технический прогресс равен нулю: АТ/Т = 0. Тогда, в силу постоянной отдачи от масштаба выражение (13.2) можно преобразовать в функцию производительности труда от капиталовооруженности труда, то есть в производственную функцию в расчете на душу населения.
qt = Щ (із.з)
где qt = у /N — производительность труда в период t; ф[ = Kt /N, — капиталовооруженность труда в период t.
График производственной функции Солоу представлен на рис. 13.1. Выпуклость кривой Ч((ф() объясняется убыванием предельной производительности капитала.
Использование уравнения (13.3) значительно упрощает анализ, так как фактически оно выражает зависимость национального дохода от количества капитала. Соответственно, прирост национального дохода зависит от прироста величины используемого капитала. Прирост величины используемого капитала в каждый момент времени представляет собой разность между объемом инвестиций и амортизацией:
АК, = It dKt. (13.4)
Условием статического равновесия в каждый момент времени является равенство сбережений и инвестиций:
It = St. (13.5)
Объем сбережений есть доля сбережений в доходе: St = Syyt. Подставим выражение St = S yt в (13.4):
AKt = Syyt-dKt. У (13.6)
Преобразуем выражение (13.6) в удельные параметры на душу населения, разделив обе части на Nt:
AK/N, = Syqt (іф,. (13.7)
Темп роста §t (фе = Kt/Nt) в условиях постоянной отдачи от масштаба можно выразить:
Дф/ф, = AK/Kt AN/Nt = (AKt/Kt) п. (13.8)
Преобразовав уравнение (13.8) относительно DKt, получим:
АК, = (Дф/ф,)К, + пК,. ' (13.9)
Преобразуем выражение (13.9) в удельные параметры на душу населения, разделив обе части на Nt:
AK/N, = Аф, + пф,. (13.10)
Приравняв правые части (13.7) и (13.10) и преобразовав полученное выражение относительно Дф,, получим базовое уравнение накопления капитала в модели Солоу:
A4>t = Syq, -(n + dty. (13.11)
Проведем краткий анализ уравнения (13.11).
Афь представляет собой изменение капиталовооруженности труда в момент времени t.
Syqt = Sy(yt /Nt) = St /Nt, то есть представляет собой удельный объем сбережений на одного занятого в периоде t.
пф, выражает возможное изменение капитала на одного занятого при темпе роста населения, равном п.
гіф, представляет собой долю обновляемого капитала на одного занятого в периоде t.
Тогда (п+сОф, представляет собой удельный объем валовых инвестиций на одного занятого в периоде tJ
В модели Солоу выдвигается концепция устойчивого стационарного состояния, согласно которой при отсутствии технического прогресса и постоянной доле обновляемого капитала равновесие обеспечивает некоторый равновесный уровень капиталовооруженности фг
Для обеспечения динамического равновесия необходимо, чтобы уровень капиталовооруженности не менялся, то есть чтобы выполнялось условие: Аф, = 0.
Чтобы обеспечить постоянный уровень капиталовооруженности при темпе роста населения, равном п, согласно выражению (13.11), необходимо соблюдение условия:
Syqt =(п+фф,. (13.12)
Для удобства анализа запишем параллельно выражение 13.12 в виде:
St/Nt=I/Nt. (13.13)
То есть для обеспечения капиталовооруженности на постоянном равновесном уровне необходимо, чтобы удельные сбережения в каждый момент времени t были полностью распределены между удельными чистыми инвестициями, идущими на прирост капитала, и удельными реновационными инвестициями на обновление капитала. Тогда при темпе роста населения, равном п, инвестиции обеспечат новые рабочие места в объеме, достаточном для сохранения полной занятости при постоянном уровне капиталовооруженности.
1 Так как (AKt/Kt) = (ANt/Nt) = п в силу постоянной отдачи от масштаба, то (n+d)4it = (n+d)(Kt /Nt) = (AKt/Kt)(Kt /Nt) + (dKt)/Nt = = AKt/Nt+(dKt)/Nt = (AKt + dKt)/Nt = It/Nt.
Следовательно, любое изменение удельного объема сбережений, вызванное приростом населения, должно соответствовать удельному приросту инвестиций: ASt/Nt = AIt/Nt. При выполнении этого условия в экономике будет наблюдаться динамическое равновесие при полной занятости. Такое развитие экономики Солоу называет состоянием устойчивой капиталовооруженности.
Принципиально возможны три варианта развития:
Аф1 =0; Syqt = (n+d)<f>t; ASt/Nt = AI/Nt.
Ae|>t>0; Syqt > (n+d)<|>t; AS/Nt > AI/Nt.
Аф1 < 0; Syqt < (п+йЦ- ASt/Nt < AIt/Nt.
В первом случае наблюдается устойчивое стационарное состояние и динамическое равновесие при постоянном уровне капиталовооруженности, как соответствующее условиям (13.12) и (13.13).
Во втором случае наблюдается неустойчивое стационарное состояние, так как удельный прирост сбережений превышает удельный прирост инвестиций, необходимых для оснащения капиталом новых рабочих мест при постоянной величине фґ Поэтому для сохранения динамического равновесия и обеспечения полной занятости требуется повысить капиталовооруженность.
В третьем случае стационарное состояние также неустойчиво, так как удельный прирост сбережений недостаточен для оснащения капиталом новых рабочих мест при постоянной величине ф^ Поэтому для сохранения динамического равновесия и обеспечения полной занятости требуется понизить капиталовооруженность труда.
Однако неустойчивость стационарного состояния в модели Солоу представляет собой лишь временное явление, вызываемое случайными факторами. При этом экономика самостоятельно возвращается в устойчивое стационарное состояние. Динамическое равновесие обеспечивается за счет гибкой капиталовооруженности труда вследствие предпосылки о взаимозаменяемости факторов производства.
Механизм возвращения в устойчивое стационарное состояние проиллюстрирован на рис. 13.2.
Выпуклость кривой Sy q обусловлена той же причиной, что и выпуклость qt^t) — убыванием предельной производительности.
Так как темп прироста населения и доля обновляемого капитала постоянны, то (п + с!)ф представляет собой восходящую прямую.
Предположим, что в момент времени t0 устойчивость стационарного состояния обеспечивается при уровне капиталовооруженности ф0.
 |
Если капиталовооруженность вследствие конъюнктурных изменений снизится до значения ф)( то труд станет дефицитен, вследствие чего цена его станет расти. Замена труда капиталом как более дешевым фактором приведет к повышению капиталовооруженности до первоначального значения ф0.
Таким образом, гибкая капиталовооруженность является в модели Солоу встроенным стабилизатором, обеспечивающим динамическое равновесие.
Некоторые следствия из модели Солоу.
Из модели Солоу вытекает целый ряд следствий, одни из которых выступают как условия экономического роста, другие — как критерии его оптимальности. Приведем некоторые из них.
1. В устойчивом состоянии, если технология производства не меняется, темп экономического роста определяется темпом роста населения (трудовых ресурсов).
Данное следствие вытекает, во-первых, из предварительного условия модели, согласно которому предполагается постоянная отдача от масштаба.
Во-вторых, один из основных выводов модели Солоу состоит в том, что капиталовооруженность труда есть величина устойчивая.
Таким образом, из модели следует, что устойчивость развития соблюдается в том случае (при отсутствии технического прогресса), если соотношение доли труда и капитала в общем объеме факторов не меняется.
Поэтому окончательный вывод о величине темпов экономического роста можно записать:
Ау/у = ДК/К = AN/N = п.
То есть, если население увеличивается с постоянным темпом п, то объем применяемого капитала и национальный доход также увеличиваются с темпом п.
Изменение темпа роста населения увеличивает темпы экономического роста. Кроме того, как следует из выражения (13.2), изменение темпов роста населения вызывает прямо пропорциональное изменение объема удельных сбережений, идущих на увеличение размеров применяемого капитала, то есть на создание новых рабочих мест.
Графически увеличение темпов роста населения отразится в смещении графика (п+сі)ф на рис. 13.2 вверх. Нетрудно заметить, что смещение прямой (п+сі)ф вверх имеет еще одно следствие: увеличение темпов роста населения приводит к уменьшению среднедушевого дохода. Следует отметить, что данный вывод находит эмпирическое подтверждение.
Технологические изменения в модели Солоу приводят к увеличению темпов экономического роста. В рамках данного курса мы не приводим формальных выражений технического прогресса.
Парадоксальный вывод, который следует из модели Солоу, состоит в том, что рост удельного уровня сбережений не оказывает влияние на темпы экономического роста в долгосрочном периоде. Однако рост уровня сбережений может оказывать влияние на темпы экономического роста в коротком периоде, при переходе от одного устойчивого стационарного состояния к другому.
Графически возрастание удельного уровня сбережений выразится в смещении кривой Syq на рис. 13.2 вверх. В коротком периоде возрастет среднедушевой доход и капиталовооруженность. Однако в долгосрочном периоде темп роста определяется долговременным трендом, представленным прямой (n+d)(|>.
Важное следствие, вытекающее из модели Солоу, состоит в формальном выражении условия оптимальности экономического роста, известном как золотое правило накопления.
В модели Солоу критерием оптимальности темпов экономического роста выступает максимизация среднедушевого потребления. То есть экономической рост можно считать оправданным только в том случае, если он приводит к наибольшему из возможных уровней удельного потребления.
Однако условие максимизации потребления должно быть сопоставлено с условиями, определяющими динамическое равновесие. То есть среди возможных вариантов развития, максимизирующих удельную норму потребления, оправданно выбирать лишь такие, которые не приводят к нарушению устойчивости стационарного состояния.
Условие максимизации удельной нормы потребления в модели Солоу формализуется в виде:
ДК/К = 5у/5К.
То есть норма потребления максимизируется, если темп прироста капитала равен его предельной производительности.
Условие сохранение стационарной устойчивости при максимизации удельной нормы потребления выглядит:
Sy = (5y/5K)-(K/y).
То есть удельная норма потребления максимизируется при сохранении устойчивости развития, если норма сбережений равна эластичности объема производства по капиталу.
Из последнего условия вытекает еще одно следствие практического характера, которое состоит в том, что для обеспечения оптимальных темпов экономического роста вся прибыль должна быть инвестирована.
Модель Солоу до настоящего времени широко применяется при анализе экономической динамики и является базовой моделью экономического роста. Однако следует подчеркнуть, что корректные результаты при использовании данной модели можно получить только при условии взаимозаменяемости факторов производства.
Обсуждение Макроэкономика
Комментарии, рецензии и отзывы